Показательно-степенная функция (точнее, сложно-показательная функция) — это функция вида
то есть функция, в которой переменная содержится и в основании степени, и в ее показателе. Примеры показательно степенных функций:
Чтобы найти производную показательно-степенной функции, нужно прологарифмировать обе части формулы, задающей функцию, по одинаковому основанию (как правило, логарифмируют по основанию e, потому что производная натурального логарифма — самая простая из всех производных логарифмов). Затем берут производную от обеих частей полученного равенства. Такая производная от логарифма функции называется логарифмической производной.
Рассмотрим поэтапно схему нахождения производной показательно-степенной функции с помощью логарифмической производной. Для упрощения записи обозначим f(x)=u, g(x)=v, тогда показательно-степенная функция принимает вид
Наша задача — найти производную этой функции.
Схема нахождения производной показательно-степенной функции:
1. Логарифмируем обе части равенства по основанию e:
Поскольку степень можно вынести за знак логарифма, имеем:
2. Дифференцируем обе части равенства. При этом помним, что y зависит x, и u зависит от x, то есть lny и lnu — сложные функции . А значит, их производные равны произведению производных внешней функции — логарифма (f=lnu) и внутренней функции (u=y или u=u). В правой части стоит произведение двух функций, то есть надо применить правило дифференцирования произведения:
3. Обе части равенства умножаем на y:
4. Теперь вспоминаем, что
и подставляем в формулу вместо y это выражение:
Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .
Урок 127. Тема: Показательная функция, отличие ее от степенной функции, основные свойства, график
Тип урока : Ознакомление с новым материалом
Форма урока : лекция – диалог
Продолжительность: 1 урок — 45 мин
Цель : — ознакомиться с понятием показательной функции;
— рассмотреть отличие показательной функции от степенной;
— рассмотреть свойства показательной функции;
— научиться строить график функции
1.Организационный момент — 2мин
2. Проверка домашнего задания – 5 мин
3. Сообщение темы и целей урока – 2 мин
, 
, y = 
, 
, 
, 
, 
.
Из функций записанных на доске укажите известные вам функции. К какому виду функции все они относятся? Какая новая для вас функция? ( , , ). Именно сегодня на уроке и будем изучать эту функцию
5. Организация восприятия новой информации — 20мин
Введение определения показательной функции
аргумент – показатель степени
основание степени – заданное число
Этим и объясняется название функции. Итак, что называется показательной функцией?
Показательной функцией называется функция вида 
, где а – заданное число, а>0, 
. 
Записать определение в тетрадь.
Графики показательной функции
Построим в одной системе координат графики функции и 
.
На заранее приготовленной системе координат строим два графика (), весь класс работает по вариантам.
Показательная функция (экспонента)
Показательная функция – это функция вида y = a x , где a > 0, a ≠ 1.
Следует различать показательную функцию y = a x и степенную функцию y = x n . Это совершенно разные функции.
Разница – в местоположении аргумента х. В показательной функции он является степенью, в степенной – основанием. Соответственно в показательной функции изменяется значение степени, в степенной – значение основания.
Сначала найдем координаты точек показательной функции y = 2 x .
Пусть х = 1, 2, 3, 4, 5.
Тогда мы получим следующие значения у:
Итак, у имеет следующие точки: 2, 4, 8, 16, 32.
Обратите внимание: в показательной функции основание неизменно (в нашем случае оно равно 2). Разные значения присваиваются степени.
Теперь найдем координаты точек степенной функции у = х 2 .
Пусть х имеет те же значения, что и в первом случае:
Тогда мы получим следующие значения у:
Таким образом, у имеет следующие точки: 1, 4, 9, 16, 25.
Обратите внимание: в степенной функции степень неизменна (в нашем случае она равна 2). Разные значения присваиваются основанию.
Как видите, разница между двумя функциями существенная.
Есть еще функция вида x x . Она не является ни показательной, ни степенной. Иногда ее называют показательно-степенной.
График показательной функции y = a x .
Графиком функции является кривая, которую называют экспонентой. Этим словом принято называть и саму функцию. Таким образом, экспонента – это показательная функция y = a x .
При a > 1 экспонента возрастает. При 0 1, и при х → +∞, если 0 
Основные свойства показательной функции y = a x .
1) Область определения функции – множество всех чисел:
2) Область значений функции – все положительные числа:
3) Функция ни четная, ни нечетная.
4) При a > 1 функция возрастает.
При 0