Глава 4. Задача 6. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95.
Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
Решение.
(P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = P(B_4) = frac<1> <4>= 0,25).
Условная вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, при условии, что взят 1-й, равна
Условная вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, при условии, что взят 2-й, равна
Условная вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, при условии, что взят 3-й, равна
Условная вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, при условии, что взят 4-й, равна
Искомая вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы, по формуле полной вероятности равна
(P(A) = P(B_1)P_
= 0,25cdot 0,8 + 0,25cdot 0,85 + 0,25cdot 0,9 + 0,25cdot 0,95 = 0,875).
УСЛОВИЕ:
В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы. (Отв. 0,875.)
РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ
Применяем формулу полной вероятности.
Вводим в рассмотрение гипотезы
Н_(I)-»выбран i-тый кинескоп», i=1,2,3,4
р(Н_(1))=р(Н_(2))=р_(Н_(3))=р_(Н_(4))=1/4
A-»кинескоп выдержит гарантийный срок службы»
По условию
p(A/H_(1))=0,8
p(A/H_(2))=0,85
p(A/H_(3))=0,9
p(A/H_(4))=0,95
По формуле полной вероятности
р(А)=р(Н_(1))*р(А/Н_(1))+р(Н_(2))*р(А/Н_(2))+
+р(Н_(3))*р(А/Н_(3))+р(Н_(4))*р(А/Н_(4))=
=(1/4)*0,8+(1/4)*0,85+(1/4)*0,9+(1/4)*0,95=
=(1/4)*(0,8+0,85+0,9+0,95)=
=3,5/4=0,875
О т в е т. 0,875
Главная > Методические указания
| Информация о документе | |
| Дата добавления: | |
| Размер: | |
| Доступные форматы для скачивания: |
3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА
Если событие А может произойти только совместно с одним из событий 
, образующих полную группу событий (гипотез), то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности 
, (9)
где 
— вероятность гипотезы 
; 
— условная вероятность события А при этой гипотезе, 
. Вероятность 
гипотезы после того, как появилось событие А , определяется по формуле Байеса
(10)
Пример 9. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных заводом №1, 20 деталей — заводом №2 и 18 деталей — заводом №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная заводом №1, — отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества.
Решение. Пусть событие А =<деталь отличного качества>. Рассмотрим гипотезы: 
=<деталь изготовлена заводом №1>; 
= <деталь изготовлена заводом №2>;
=< деталь изготовлена заводом №3>. Вероятности этих гипотез: 
. Условные вероятности: 
. По формуле полной вероятности (9) при n =3 находим искомую вероятность 
.
Пример 10. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятность гарантийной работы кинескопа: 0,8; 0,95; 0,9 и 0,7 для первого, второго, третьего и четвертого соответственно. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кинескоп будет работать в течение гарантийного срока.
Решение. Событие А =<кинескоп проработает гарантийный срок>. Гипотезы = <выбран k -й кинескоп>( k =1,2,3,4). Эти гипотезы равновероятны, т.е. 
. Условные вероятности 
. По формуле полной вероятности (9) при n =4 находим искомую вероятность события А 
.
Пример 11. Самолет морской авиации производит бомбометание с малой высоты по кораблю противника. При попадании бомбы в надводную часть корабль гибнет с вероятностью 0,6, при попадании в подводную часть — с вероятностью 0,9. Вероятность попадания бомбы в надводную часть равна 0,6, в подводную — 0,4. Определить вероятность гибели корабля в результате бросания одной бомбы.
Решение. Событие А =<гибель корабля>. Формулируем гипотезы: =<попадание бомбы в надводную часть корабля>; =<попадание бомбы в подводную часть корабля>. По условию вероятности гипотезы соответственно равны: 
. Условные вероятности события А будут такими: 
. Тогда: 
Пример 12. Счетчик регистрирует частицы 3 типов: А , В и С . Вероятности появления этих частиц: P ( A )=0,2; P ( B )=0,5; P ( C )=0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями 
. Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица типа В .
Решение. Обозначим событие D =<счетчик уловил частицу>. Гипотезы: =<появление частицы типа А >; =<появление частицы типа В >; =<появление частицы типа С >. Вероятности гипотез: 
. Условные вероятности: 
. Искомую вероятность 
определим по формуле Байеса (10)
Пример 13. Сборщик получает 50% деталей завода №1, 30% — завода №2, 20% — завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 — отличного качества, равна 0,7; завода №2 — 0,8; завода №3 — 0,9. Наугад взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена заводом №1.
Решение. А =<деталь отличного качества>. Гипотезы: =<деталь изготовлена заводом № k ), k =1,2,3. Вероятности этих гипотез: 
. Условные вероятности: 
. Искомую вероятность определим по формуле Байеса 
.
4. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ
4.1. Формула Бернулли
Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А постоянна и равна p , то вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно m раз, определяется по формуле Бернулли 
. (11)
4.2. Формула Пуассона
Если n велико, а p мало ( обычно p npq 9 ), то вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона 
, (12)
где = np .
4.3. Локальная теорема Лапласа
Если n велико, вероятность 
может быть вычислена по приближенной формуле 
, (13)
где 
.
Значения функции ( x ) определяются из таблицы 
.
Вероятность 
того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (0 p А наступит не менее 
раз и не более 
раз, приближенно равна
, (14)
где 
— функция Лапласа, 
, 
. Значения 
определяются из таблицы; =1/2 при x>5, 
= – .
Пример 14. В мастерской имеется 10 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что в данный момент не менее 8 моторов работают с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 8 моторов работают с полной нагрузкой.
Решение. Рассмотрим события: А =<не менее 8 моторов из 10 в данный момент работают с полной нагрузкой>; B , C , D — события, состоящие в том, что работают соответственно 8, 9 и 10 моторов. Тогда A = B + C + D . Так как события B , C и D несовместны, P ( A )= P ( B )+ P ( C )+ P ( D ). Найдем вероятности событий B , C и D по формуле Бернулли (11):
Тогда 
.
Пример 15. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
Решение. По условию n =100, m =75, p =0,8, q =0,2. Так как n =100 велико, воспользуемся формулой (13) локальной теоремы Лапласа. Для этого найдем 
. По таблице найдем
(–1,25)=0,1826. Искомая вероятность 
.
Пример 16. Предприятие отправило на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002.Найти вероятность того, что на базу прибудет ровно 3; не более 3 негодных изделий.
Решение. Воспользуемся формулой Пуассона (12). В данном случае m =3, p =0,0002, n =5000, = np =1; 
. Вероятность того, что на базу прибудет не более 3 негодных изделий, равна 
Пример 17. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга, в одинаковом режиме, при включенном приводе, в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?
Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа ( формула (14)) 
, где — функция Лапласа; 
; 
.
Искомая вероятность 
.
4.5. Наивероятнейшее число появлений события
Наивероятнейшее число 
появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с вероятностью p ( и не появиться с вероятностью q = 1 – p ), определяется из двойного неравенства
np — q np + p , (15)
а вероятность появления события А хотя бы один раз вычисляется по формуле
P =1 – q n . (16)
Пример 18. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4, независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.
Решение. Запишем двойное неравенство (15) при n =10, p =0,4, q =0,6 для этого случая: 100,4-0,6100,4+0,4 или 3,44,4.
Так как число должно быть целым, положительным, то =4. Найдем вероятность получения этого числа по формуле Бернулли (11) 
.
Пример 19. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность хотя бы одного попадания в десятку была больше 0,9?
Решение. Для решения этой задачи воспользуемся формулой (16). В данном случае p =0,3; q =0,7; P >0,9; число выстрелов n необходимо определить из неравенства 1-(0,7) n >0,9. Решим его: (0,7) n 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ