Набор геометрических задач с решением по теме "Конус" для подготовки к ЕГЭ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| konus.pptx | 635.87 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Конус Выполнила: Кононенко Алина
Задача №1: Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса. Дано: h=SO=15 см, r= ОА=8см. Найти: AS. Решение: S O A B По условию SO=h=15 см, r=OA=8 см AS= = = =17 см Ответ: 17см.
Задача №2: Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см. Дано: АО=ОВ=5см, ∟ A РВ = 90° . Найти: Решение: Р А В О Ответ: 25
Задача №3: Высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей конуса равен 60°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие. Дано: РО= h, ∟APO=60°, AP _|_ PB, PB – образующая. Найти: Решение: 1) АР=2 h, (PO- катет, лежащий против угла в 30° ) ; 2) АР=РВ=2 h – как образующие конуса; 3) Ответ: 2 60° h P 30° O B A
Задача №4: Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α . Найдите α , если высота конуса равна 4 см, а радиус основания 3 см. Дано: АВС – развертка конуса, ∟АВС= α , h=4 см, r=3 см. Найдите: α . Решение: АВО – прямоугольный, АВ= Ответ: 216 В А С О h r
Задача №5: Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом . В основании конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна , а противолежащий угол равен . Найдите площадь полной поверхности конуса. Дано: конус, ∟ВАО= , ɑ, ∟K= . Найти: Решение: Т.к. ∟ MNK – вписанный, то ∟ MON=2∟MNK=2 ( как центральный ) ; п о теореме косинусов: ɑ =2R R= В С А M N K O
В ∟O=90 ∟M= M= MB= Ответ: .
Задача №6: Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3см и 6 см, а высота равна 4см. В С А D O O1 В 1 C1 Дано: усеченный конус, ВО=3см, АО1=6см, ОО1=4см. Найти: l = АВ=С D. Решение: Рассмотрим осевое сечение пирамиды АВСВ ВС=2ОВ=6см; AD=2OA=12 см, т.к. трапеция равнобедренная, то АВ1=С1 D =( AD — DC):2=3 см; CD= =5 см, т.е. образующая конуса l = АВ =CD=5 см. Ответ: 5см.
Задача №7: Радиусы оснований усеченного конуса равны R и r , где R>r, а образующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь осевого сечения. Дано: усеченный конус, ВО= r, АО1= R, ∟ BAD=45°. Найти: Решение: Т.к. Ответ: А В С D O O 1 В1 С1
Задача №8: Площадь боковой поверхности конуса равна 80 . Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усеченного конуса. Дано: конус, _ |_ A1O1, O1 ВО, ВО1=О1О. Найти: Решение: Ответ: 60 . А А1 В С1 С О1 О
Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем меньшего конуса в восемь раз меньше объема большего конуса.
Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите 
Объем конуса равен
,
где 
—площадь основания, а 
— высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в 
°: — он вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора:
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?
Объем конуса равен
,
где — площадь основания, а — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.
V=1/3Sh-это формула объёма пирамиды!
Она же формула объема конуса.
Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, высоту конуса можно уменьшить в 3 раза (вообще говоря, в n раз) : 1) полагая неизменным основание (радиус основания) конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию конуса проводится сечение, делящее высоту в отношении 1:3 (1:n), и получается отсечённый конус с высотой, уменьшенной в 3 раз (в n раз). Во втором случае, учитывая, что меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/3, а объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем меньшего конуса в 27 раз меньше объема большего конуса.
В добавление замечу, что возможен ещё третий случай, когда высота конуса уменьшается в 3 раза (вообще говоря, в n раз): если образующая не меняется. При этом изменяются телесный угол (увеличивается), а радиус основания (увеличивается), так как образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора. В данном случае ответ будет соответствующим образом зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса. Например, если у исходного конуса положить угол между образующей и плоскость основания равным 45 град., то, в результате несложных вычислений, мы получим объём конуса (с уменьшенной в 3 раза высотой и той же самой образующей): V2 = 17/27*V1 или V2/V1 = 17/27.
С уважением. И. И.
Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 1,5 раза, а высота останется прежней?
Объем конуса равен
,
где — площадь основания, —высота конуса, а 
— радиус основания. При увеличении радиуса основания в 1,5 раза объем конуса увеличится в 2,25 раза.
Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, радиус основания конуса можно увеличить в 1,5 раза (вообще говоря, в n раз): 1) полагая неизменной высоту конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию исходного конуса проводится сечение конической поверхности (часть которой является боковой поверхностью исходного конуса), проходящее через точку на продолжении высоты конуса, отстоящую от вершины в 1,5 раза (в n раз) дальше основания высоты исходного конуса, и, таким образом, получается отсечённый конус с радиусом, увеличенным в 1,5 раза (в n раз), так как больший конус подобен меньшему с коэффициентом 1,5; или 3) полагая неизменной образующую конуса (при этом, изменяются телесный угол (увеличивается) и высота конуса (уменьшается), а образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора).
Во втором случае, учитывая, что объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем большего конуса в 3,375 раза (в n в кубе раз) больше объёма меньшего конуса, то есть, объём конуса увеличится в 3,375 раза (в общем случае – в n в кубе раз).
В третьем случае ответ будет зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса (так как образующая, высота и радиус основания связаны по теореме Пифагора).
Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на 
По теореме Пифагора найдем, что радиус основания равен 
Тогда объем конуса, деленный на 
:
Задания для самостоятельной работы при повторении темы "Конус. Усеченный конус"
Просмотр содержимого документа
«Конус. Усеченный конус. Повторение теории и решение задач»
Тело вращения: Конус
Совет: Выполняйте задания поэтапно, переходя к следующему этапу только тогда, когда предыдущий выполнен вами полностью.
Задание 1. Прочтите вопросы, попытайтесь ответить на них, если вопрос вызывает у вас затруднения, обратитесь к учебному пособию или справочнику. После того, как проработаете все вопросы, ответьте на них еще раз, но уже самостоятельно.
Определите понятия «Конус», «Усеченный конус».
Назовите основные элементы конуса и усеченного конуса.
Может ли осевым сечением конуса быть прямоугольный треугольник? прямоугольник? равносторонний треугольник?
Назовите формулы для расчета площади боковой и полной поверхности конуса.
Какая формула позволяет рассчитать объем конуса?
Назовите формулы для расчета площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.
Какая формула позволяет рассчитать объем усеченного конуса?
Как найти длину окружности, находящейся в основании конуса?
На какие тела разбивает конус сечение, проходящее перпендикулярно оси конуса?
Если вопросы не вызвали у вас затруднений, поздравляю вас, вы хорошо помните теоретический материал по теме «Конус. Усеченный конус». Если же вы обращались к учебному пособию часто, то вам необходимо проработать теорию еще раз самостоятельно или обратиться за помощью к преподавателю.
Приступайте к решению задач. Начинаем с более простых задач.
Найдите образующую конуса, если высота конуса равна 8 см, радиус основания 6 см.
Высота конуса равна 8 см, радиус основания 6 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
Образующая конуса равна 16 см и наклонена к плоскости основания под углом 
. Вычислите площадь полной поверхности конуса.
А теперь перейдем к более сложным задачам.
Найдите объем конуса, если его осевое сечение – прямоугольный треугольник с катетом, равным 8 см.
В усеченном конусе диагональ осевого сечения равна 10 м, радиусы оснований 2 м и 4 м. Найдите высоту конуса.
Треугольник со сторонами 20, 37 и 51 вращается около большей стороны. Найдите поверхность тела вращения.
А теперь самая сложная задача, над решением которой нужно подумать.
Два конуса имеют общую высоту и параллельные основания. Радиусы оснований равны 9 и 18, разность образующих равна 3. Определите боковые поверхности внешних частей этих конусов.