Сумма трех векторов равна нулю

нПЦОП МЙ ТБУРПМПЦЙФШ ОБ РМПУЛПУФЙ ФТЙ ЧЕЛФПТБ ФБЛ, ЮФПВЩ НПДХМШ УХННЩ ЛБЦДЩИ ДЧХИ ЙЪ ОЙИ ВЩМ ТБЧЕО 1, Б УХННБ ЧУЕИ ФТЈИ ВЩМБ ТБЧОБ ОХМЕЧПНХ ЧЕЛФПТХ?

тЕЫЕОЙЕ

ъБНЕФЙН, ЮФП ЕУМЙ УХННБ ФТЈИ ЕДЙОЙЮОЩИ ЧЕЛФПТПЧ ТБЧОБ ОХМА, ФП УХННБ ЛБЦДЩИ ДЧХИ ЙЪ ОЙИ ТБЧОБ ФТЕФШЕНХ У ПВТБФОЩН ЪОБЛПН, ФП ЕУФШ ЕЈ НПДХМШ ТБЧЕО 1. фТЙ ФБЛЙИ ЕДЙОЙЮОЩИ ЧЕЛФПТБ НПЦОП ТБУРПМПЦЙФШ РП ТБЪОПНХ.

рЕТЧЩК УРПУПВ. тБУУНПФТЙН РТБЧЙМШОЩК ФТЕХЗПМШОЙЛ бчу УП УФПТПОБНЙ ЕДЙОЙЮОПК ДМЙОЩ (УН. ТЙУ.). фПЗДБ ЙУЛПНЩК РТЙНЕТ: , Й .

чФПТПК УРПУПВ. йУЛПНЩНЙ СЧМСАФУС ФТЙ ЕДЙОЙЮОЩИ ЧЕЛФПТБ , Й , ПВТБЪХАЭЙЕ РПРБТОП ХЗМЩ 120° (УН. ЪБДБЮХ 55373 Б).

пФЧЕФ

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

ПМЙНРЙБДБ
оБЪЧБОЙЕ	нПУЛПЧУЛБС НБФЕНБФЙЮЕУЛБС ТЕЗБФБ
ЗПД
зПД	2012/13
ЛМБУУ
1
лМБУУ	10
ЪБДБЮБ
оПНЕТ	10.1.2

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Правило треугольника

Сумма векторов a и b это третий вектор с , получаемый следующим построением: из произвольного начала О строим вектор OL , равный а ; из точки L , как из начала строим вектор LM , равный b . Вектор с = ОМ есть сумма векторов a и b («правило треугольника»).

При сложении векторов справедливы неравенства

Эти неравенства показывают, что сторона OM треугольника OML меньше суммы и больше разности двух других сторон.

В формуле (1) знак равенства имеет место только для равнонаправленных векторов, в формуле (2) – только для противоположного направленных векторов.

Сумма противоположных векторов

Из определения следует, что сумма противоположных векторов равна нуль-вектору.

Свойство переместительности

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Правило параллелограмма

Если слагаемые a и b не коллинеарны, то сумму a + b можно найти следующим построением:

из любого начала О строим векторы ОА = а и ОВ = b ; на отрезках ОА , ОВ строим параллелограмм ОАСВ . Вектор диагонали ОС = с есть сумма векторов a и b (так как АС = OB = b и ОС = ОА + АС ).

К коллинеарным векторам это построение неприменимо.

Определение сложения векторов установлено в соответствии с физическими законами сложения векторных величин (например, сил, приложенных к материальной точке).

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

• скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
• векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.):

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

• правило параллелограмма
• правило треугольника
• тригонометрический способ

Правило параллелограмма.

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
• от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
• дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
• результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
• от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
• результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ

Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

F = числовое значение вектора

α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

F_рез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team