Проверка на линейность оператора

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач, касающиеся линейных операторов (преобразований, отображений): нахождение матрицы оператора в разных базисах, проверка его свойств, нахождение собственных (характеристических) значений и векторов.

Решения задач: линейные операторы

Задача 1. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования $A$, заданного уравнениями $x’=5x+4y, y’=8x+9y$.

Задача 2. Найти в ортонормированном базисе $(i,j,k)$ матрицу линейного оператора $f: E^3
ightarrow E^3$, переводящего любой вектор $x$ в вектор $y=f(x)$, $f(x)=(a,x)a$, если $a=i-j+2k$.

Задача 3. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее $x_1», x_2», x_3»$ через $x_1, x_2, x_3$.

Задача 4. Установить, являются ли заданные отображения $A: R^4 o R^4$ линейными. В случае линейности отображения записать матрицу оператора $A$ в каноническом базисе

$$ e_1=(1,0,0,0); e_2=(0,1,0,0); e_3=(0,0,1,0); e_4=(0,0,0,1). $$ $$ Ax=(x_1-2x_4; x_2+x_3; -x_1; x_1+3x_2);quad Ax=(x_1-2x_4; x_2cdot x_3; -x_1; x_1+3x_2). $$

Задача 5. Найти собственные значения и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей $А$.

$$A= egin -2 & -2 & -4\ -2 & 1 & -2\ 5 & 2 & 7\ end $$

Задача 6. Линейный оператор $A: R^3 o R^3$ в базисе $e_1, e_2, e_3$ представлен данной матрицей. Найти матрицу этого линейного оператора в базисе $f_1, f_2, f_3$ .

$$A= egin -2 & 1 & -1\ 1 & 3 & -4\ -1 & 2 & 1\ end, quad left < eginf_1&=e_1-e_2+3e_3,\ f_2&=4e_1+e_2-e_3,\ f_3&=2e_1-3e_2.\ end
ight. $$

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами

Проверка операторов на линейность

Проверить, является ли оператор линейным в

Решение:

Проверим оператор на линейность:
Если выполняются условия:
,

Так как оба условия выполняются, то оператор линейный.

Найти значение выражения

.
— линейные операторы из , ,

Решение:

Ответ:

Найти значение выражения

.
— линейные операторы из , ,

Решение:

Ответ:

Найти значение выражения

.
— линейные операторы из , ,

Решение:

Ответ:

Определение и примеры линейных операторов

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Выполните тест и проверьте хорошо ли Вы усвоили материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Вы набрали 0 из 0 баллов ( 0 )

Средний результат

Ваш результат

Рубрики Нет рубрики 0% 1 2 3 С ответом С отметкой о просмотре Является ли оператор (D:P_[x] ightarrow P_[x])линейным? (X=P_n[x]), (Y=P_[x]) Да Нет Невозможно определить Какие из операторов являются линейными? (Ax=x_<1>+x_<2>+x_<4>, x_<3>, x_<1>+x_<3>, x_<4>) (Ax=x_<1>*x_<2>*x_<4>, x_<3>, x_<1>*x_<3>, x_<4>) (frac<1>><3>>,frac<2>><4>>,frac<1>><3>>,frac<2>><4>>) (x_<4>, x_<3>, x_<2>, x_<1>) Найти значение выражения: (Ax+BCx), при (Aleft(x_<1>,x_<2> ight)=left(x_<1>+x_<2>, x_<1>-x_<2> ight)), (Bleft(x_<1>,x_<2> ight)=left(x_<2>,x_<1> ight)), (cleft(x_<1>,x_<2> ight)=left(x_<2>+x_<1>,0 ight)). ((x_<1>)запишите в виде x1, аналогично с (x_<2>) ) ((x1+x2,-x2-x1), (x2+x1,-x2-x1), (x2+x1,-x1-x2), (x1+x2,-x1-x2)) Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

максимум из 3 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы :

• Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
• Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

Поделиться ссылкой:

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами

Пусть , — линейные пространства.
-линейный оператор, если .

Примеры часто используемых операторов:

• — нулевой оператор
  ;
• — тождественный (единичный) оператор
  ;
• — скалярный оператор
  ;
• — оператор прямого проектирования
  .

Сумма

Пусть — линейные операторы из
,

Произведение оператора и скаляра

Пусть — линейный оператор из , .
Тогда произведением называется отображение:
.

Произведение линейных операторов

Пусть — линейные операторы из и из
, , — линейные пространства над полем

Линейные операторы

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Вы набрали 0 из 0 баллов ( 0 )

Средний результат

Ваш результат

Рубрики Нет рубрики 0% 1 2 3 С ответом С отметкой о просмотре Заполните пропуски в определении: Пусть (left(X,P ight)), (left(Y,P ight)) — линейные пространства. Если (forall a,bin X) (forallalpha,etain P) (Aleft(alpha a+eta b ight)=alpha A a+eta A b), то чем является (A:X ightarrow Y)? (линейным оператором) Указать в заданном порядке, что называется суммой операторов, их произведением, произведением оператора на скаляр: Пусть (A,B) — линейные операторы из (Omegaleft(X,Y ight)) и из (Omegaleft(Y,Z ight)) (X), (Y), (Z) — линейные пространства над полем (mathbb ) (BA=C) (C:X ightarrow Z) (forall xin X) (Cx=left(BA ight)x=bleft(Ax ight)) (Bcirc A) Пусть (A) — линейный оператор из (Omegaleft(X,Y ight)), (lambdainmathbb ). Тогда произведением (lambda A) называется отображение: (C:X ightarrow Y) (forall xin X) (Cx=left(lambda A ight)x=lambdaleft(Ax ight)). Доказать ограниченность и проверить линейность оператора $%F:R^3-R^2$%, $%F(x,y,z)=(x-y,y+z)$%. задан 12 Ноя ’14 23:40 Сначала Вам вопрос: а Вы пытались сделать эту задачу? Неужели даже проверить линейность не получилось? Определение линейного оператора можете дать? Отображение А: Х→У называется линейным оператором, если выполнены условия: 1. A(x+y)=a(x)+A(y) 2. A(nx)=nA(x) Линейность получилась, а доказательство ограниченности нет. Значит, чтобы проверить линейность по аргументу $%x$% нужно проверить, что $$F(x_1+x_2,y,z)=F(x_1,y,z)+F(x_2,y,z).$$ Распишите левую и правую части: что такое $%F(x_1+x_2,y,z)$% ($%x$% заменяем на $%x_1+x_2$%) и $%F(x_1,y,z)$%, $%F(x_2,y,z)$%. Аналогично для вынесения множителя. @cartesius: тут ведь речь идёт о линейности оператора, а не линейности по каждому аргументу. Проверять надо другое свойство. Прошу прощения — переинтерпретировала условие на свой лад. @олька, проверять надо, что $%F(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)=F(x_1,y_1,z_1)+F(x_2,y_2,z_2)$% и $%F(nx,ny,nz)=nF(x,y,z)$%. По тому же самому принципу, что описано в комментариях выше. @falcao, спасибо! 1 ответ Ограниченность оператора следует из таких соображений. Рассмотрим вектор $%v=(x,y,z)inmathbb R^3$%, евклидова норма которого равна 1, то есть $%x^2+y^2+z^2=1$%. Из этого следует, что $%|x|le1$%, $%|y|le1$%, $%|z|le1$%. Тогда $%|x-y|le|x|+|y|le2$% и $%|y+z|le|y|+|z|le2$%. Тем самым, $%(x-y)^2+(y+z)^2le8$%, и это значит, что $%||Av||le2sqrt2$% для любого вектора $%v$% с условием $%||v||=1$%. Поэтому оператор $%A$% ограничен (имеет ограниченную норму, не превосходящую $%2sqrt2$%).