Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить."
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Метод Крамера
Метод Крамера − это метод решения квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы. Такая система линейных уравнений имеет единственное решение.
Пусть задана следующая система линейных уравнений:
 |
(1) |
Заменим данную систему (1) эквивалентным ей матричным уравнением
где A -основная матрица системы:
 |
(3) |
а x и b − векторы столбцы:
первый из которых нужно найти, а второй задан.
Так как мы предполагаем, что определитель Δ матрицы A отличен от нуля, то существует обратная к A матрица A -1 . Тогда умножая тождество (2) слева на обратную матрицу A -1 , получим:
Учитывая, что произведение взаимно обратных матриц является единичной матрицей (A -1 A=E), получим
Обратная матрица имеет следующий вид:
 |
(5) |
где Aij − алгебраическое дополнение матрицы A, Δ − определитель матрицы A.
где Δi − это определитель матрицы, полученной из матрицы A, заменой столбца i на вектор b.
Мы получили формулы Крамера:
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Крамера
- Вычислить определитель Δ основной матрицы A.
- Замена столбца 1 матрицы A на вектор свободных членов b.
- Вычисление определителя Δ1 полученной матрицы A1.
- Вычислить переменную x1=Δ1/Δ.
- Повторить шаги 2−4 для столбцов 2, 3, . n матрицы A.
Примеры решения СЛУ методом Крамера
Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:
Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где
 . |
Вычислим определитель основной матрицы A:
Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:
 . |
Вычислим определитель матрицы A1:
Заменим столбец 2 матрицы A на вектор столбец b:
 . |
Вычислим определитель матрицы A2:
Заменим столбец 3 матрицы A на вектор столбец b:
 . |
Вычислим определитель матрицы A3:
Решение системы линейных уравнений вычисляется так:
Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:
Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где
Найдем определитель матрицы A. Для вычисления определителя матрицы, приведем матрицу к верхнему треугольному виду.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3,4 со строкой 1, умноженной на -1/4,-3/4,-2/4 соответственно:
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого меняем местами строки 2 и 4. При этом меняется знак определителя на "−".
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на -26/76,2/76 соответственно:
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 3. Для этого меняем местами строки 3 и 4. При этом меняется знак определителя на "+".
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -817/1159:
Мы привели матрицу к верхнему треугольному виду. Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:
Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:
Для вычисления определителя матрицы A1, приведем матрицу к верхнему треугольному виду, аналогично вышеизложенной процедуре. Получим следующую матрицу:
Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:
Заменяем столбец 2 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
 ∼ |
Заменяем столбец 3 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
 ∼ |
Заменяем столбец 4 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
 ∼ |
Решение системы линейных уравнений вычисляется так:
Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:
B T = (20,11,40,37)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):
Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):
∆4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Главный определитель:
∆ = 2∙(-67)-1∙(-89)+2∙(-6)-3∙(-16) = -9
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Выпишем отдельно найденные переменные Х:
Пример №2 . Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:
B T = (6,9,-6)
Главный определитель:
∆ = 1 • (5 • 0-8 • 6)-4 • (2 • 0-8 • 3)+7 • (2 • 6-5 • 3) = 27 = 27
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = 6 • (5 • 0-8 • 6)-9 • (2 • 0-8 • 3)+(-6 • (2 • 6-5 • 3)) = -54
x1 = -54/27 = -2
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = 1 • (9 • 0-(-6 • 6))-4 • (6 • 0-(-6 • 3))+7 • (6 • 6-9 • 3) = 27
x2 = 27/27 = 1
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = 1 • (5 • (-6)-8 • 9)-4 • (2 • (-6)-8 • 6)+7 • (2 • 9-5 • 6) = 54
x3 = 54/27 = 2
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -54/27 = -2
x2 = 27/27 = 1
x3 = 54/27 = 2
Проверка.
1•-2+2•1+3•2 = 6
4•-2+5•1+6•2 = 9
7•-2+8•1+0•2 = -6
Пример №2 . Запишем систему в виде:
| 2 |
-1 |
12 |
-5 |
| 1 |
-1 |
-5 |
0 |
| 3 |
-2 |
-2 |
-5 |
| 7 |
-5 |
-9 |
-1 |
B T = (1,0,3,-4)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):
| -1 |
-5 |
0 |
| -2 |
-2 |
-5 |
| -5 |
-9 |
-1 |
Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (-5 • (-1)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -72
Минор для (2,1):
| -1 |
12 |
-5 |
| -2 |
-2 |
-5 |
| -5 |
-9 |
-1 |
∆2,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 279
Минор для (3,1):
| -1 |
12 |
-5 |
| -1 |
-5 |
0 |
| -5 |
-9 |
-1 |
∆3,1 = -1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 63
Минор для (4,1):
| -1 |
12 |
-5 |
| -1 |
-5 |
0 |
| -2 |
-2 |
-5 |
∆4,1 = -1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-(-1 • (12 • (-5)-(-2 • (-5))))+(-2 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = -45
Главный определитель:
∆ = 2 • (-72)-1 • 279+3 • 63-7 • (-45) = 81
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| 1 |
-1 |
12 |
-5 |
| 0 |
-1 |
-5 |
0 |
| 3 |
-2 |
-2 |
-5 |
| -4 |
-5 |
-9 |
-1 |
Минор для (1,1):
| -1 |
-5 |
0 |
| -2 |
-2 |
-5 |
| -5 |
-9 |
-1 |
∆1,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (-5 • (-1)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -72
Минор для (2,1):
| -1 |
12 |
-5 |
| -2 |
-2 |
-5 |
| -5 |
-9 |
-1 |
∆2,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 279
Минор для (3,1):
| -1 |
12 |
-5 |
| -1 |
-5 |
0 |
| -5 |
-9 |
-1 |
∆3,1 = -1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 63
Минор для (4,1):
| -1 |
12 |
-5 |
| -1 |
-5 |
0 |
| -2 |
-2 |
-5 |
∆4,1 = -1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-(-1 • (12 • (-5)-(-2 • (-5))))+(-2 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = -45
Определитель минора:
∆1 = 1 • (-72)-0 • 279+3 • 63-(-4 • (-45))
x1 = -63/81 = -0.78
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| 2 |
1 |
12 |
-5 |
| 1 |
0 |
-5 |
0 |
| 3 |
3 |
-2 |
-5 |
| 7 |
-4 |
-9 |
-1 |
Минор для (1,1):
∆1,1 = 0 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-3 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))+(-4 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -115
Минор для (2,1):
∆2,1 = 1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-3 • (12 • (-1)-(-9 • (-5)))+(-4 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 408
Минор для (3,1):
∆3,1 = 1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-0 • (12 • (-1)-(-9 • (-5)))+(-4 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 105
Минор для (4,1):
∆4,1 = 1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-0 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))+3 • (12 • 0-(-5 • (-5))) = -50
Определитель минора:
∆2 = 2 • (-115)-1 • 408+3 • 105-7 • (-50)
x2 = 27/81 = 0.33
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| 2 |
-1 |
1 |
-5 |
| 1 |
-1 |
0 |
0 |
| 3 |
-2 |
3 |
-5 |
| 7 |
-5 |
-4 |
-1 |
Минор для (1,1):
Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = -1 • (3 • (-1)-(-4 • (-5)))-(-2 • (0 • (-1)-(-4 • 0)))+(-5 • (0 • (-5)-3 • 0)) = 23
Минор для (2,1):
∆2,1 = -1 • (3 • (-1)-(-4 • (-5)))-(-2 • (1 • (-1)-(-4 • (-5))))+(-5 • (1 • (-5)-3 • (-5))) = -69
Минор для (3,1):
∆3,1 = -1 • (0 • (-1)-(-4 • 0))-(-1 • (1 • (-1)-(-4 • (-5))))+(-5 • (1 • 0-0 • (-5))) = -21
Минор для (4,1):
∆4,1 = -1 • (0 • (-5)-3 • 0)-(-1 • (1 • (-5)-3 • (-5)))+(-2 • (1 • 0-0 • (-5))) = 10
Определитель минора:
∆3 = 2 • 23-1 • (-69)+3 • (-21)-7 • 10
x3 = -18/81 = -0.22
Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| 2 |
-1 |
12 |
1 |
| 1 |
-1 |
-5 |
0 |
| 3 |
-2 |
-2 |
3 |
| 7 |
-5 |
-9 |
-4 |
Минор для (1,1):
∆1,1 = -1 • (-2 • (-4)-(-9 • 3))-(-2 • (-5 • (-4)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • 3-(-2 • 0))) = 80
Минор для (2,1):
∆2,1 = -1 • (-2 • (-4)-(-9 • 3))-(-2 • (12 • (-4)-(-9 • 1)))+(-5 • (12 • 3-(-2 • 1))) = -303
Минор для (3,1):
∆3,1 = -1 • (-5 • (-4)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-4)-(-9 • 1)))+(-5 • (12 • 0-(-5 • 1))) = -84
Минор для (4,1):
∆4,1 = -1 • (-5 • 3-(-2 • 0))-(-1 • (12 • 3-(-2 • 1)))+(-2 • (12 • 0-(-5 • 1))) = 43
Определитель минора:
∆4 = 2 • 80-1 • (-303)+3 • (-84)-7 • 43
x4 = -90/81 = -1.11
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -63/81 = -0.78
x2 = 27/81 = 0.33
x3 = -18/81 = -0.22
x4 = -90/81 = -1.11
Проверка.
2•-0.78+-1•0.33+12•-0.22+-5•-1.11 = 1
1•-0.78+-1•0.33+-5•-0.22+0•-1.11 = 0
3•-0.78+-2•0.33+-2•-0.22+-5•-1.11 = 3
7•-0.78+-5•0.33+-9•-0.22+-1•-1.11 = -4
Пример №3 . Запишем систему в виде:
B T = (-1,-3,-8)
Главный определитель:
∆ = 2 • (-2 • 1-1 • 2)-1 • (1 • 1-1 • (-1))+3 • (1 • 2-(-2 • (-1))) = -10 = -10
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
∆1 = -1 • (-2 • 1-1 • 2)-(-3 • (1 • 1-1 • (-1)))+(-8 • (1 • 2-(-2 • (-1)))) = 10
x1 = 10/-10 = -1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
∆2 = 2 • (-3 • 1-(-8 • 2))-1 • (-1 • 1-(-8 • (-1)))+3 • (-1 • 2-(-3 • (-1))) = 20
x2 = 20/-10 = -2
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
∆3 = 2 • (-2 • (-8)-1 • (-3))-1 • (1 • (-8)-1 • (-1))+3 • (1 • (-3)-(-2 • (-1))) = 30
x3 = 30/-10 = -3
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = 10/-10 = -1
x2 = 20/-10 = -2
x3 = 30/(-10) = -3
Проверка.
2•-1+1•-2+-1•-3 = -1
1•-1+-2•-2+2•-3 = -3
3•-1+1•-2+1•-3 = -8
Пример №4 . Запишем систему в виде:
B T = (0,-4,11)
Главный определитель:
∆ = 1 • (3 • 5-(-1 • (-2)))-4 • (-1 • 5-(-1 • 1))+2 • (-1 • (-2)-3 • 1) = 27 = 27
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
∆1 = 0 • (3 • 5-(-1 • (-2)))-(-4 • (-1 • 5-(-1 • 1)))+11 • (-1 • (-2)-3 • 1) = -27
x1 = -27/27 = -1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
∆2 = 1 • (-4 • 5-11 • (-2))-4 • (0 • 5-11 • 1)+2 • (0 • (-2)-(-4 • 1)) = 54
x2 = 54/27 = 2
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
∆3 = 1 • (3 • 11-(-1 • (-4)))-4 • (-1 • 11-(-1 • 0))+2 • (-1 • (-4)-3 • 0) = 81
x3 = 81/27 = 3
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -27/27 = -1
x2 = 54/27 = 2
x3 = 81/27 = 3
Проверка.
1•-1+-1•2+1•3 = 0
4•-1+3•2+-2•3 = -4
2•-1+-1•2+5•3 = 11
Пример №5 . Запишем матрицу в виде:
Главный определитель:
∆ = 1 • (-2 • (-1)-1 • 1)-2 • (2 • (-1)-1 • 2)+3 • (2 • 1-(-2 • 2)) = 27
Пример №6 . При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А можно применять формулы Крамера, если:
- столбцы матрицы А линейно независимы;
- определитель матрицы А не равен нулю;
Пример №7 . Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение с помощью формул Крамера. Выполнить проверку полученного решения.
-75x 1 + 35 x 2 + 25 x 3 = -4,5
25x 1 — 70x 2 + 25 x 3 = -20
15x 1 + 10x 2 — 5 5 x 3 = -30
Решение получаем через калькулятор. Запишем систему в виде:
B T = (-4.5,-20,-30)
Главный определитель:
∆ = -75∙(-70∙(-55)-10∙25)-25∙(35∙(-55)-10∙25)+15∙(35∙25-(-70∙25))= -176250 = -176250
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = -4.5∙(-70∙(-55)-10∙25)-(-20∙(35∙(-55)-10∙25))+(-30∙(35∙25-(-70∙25)))= -138450
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = -75∙(-20∙(-55)-(-30∙25))-25∙(-4.5∙(-55)-(-30∙25))+15∙(-4.5∙25-(-20∙25))= -157875
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Выпишем отдельно найденные переменные Х
Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера, вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Крамера, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера
Изменить названия переменных в системе
Заполните систему линейных уравнений:
Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений методом Крамера
- В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
- Для изменения в уравнении знаков с "+" на "-" вводите отрицательные числа.
- Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
- Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.
Например, линейное уравнение x 1 — 7 x 2 — x 4 = 2
будет вводится в калькулятор следующим образом:
Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений методом Крамера
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши "влево", "вправо", "вверх" и "вниз" на клавиатуре.
- Вместо x 1, x 2, . вы можете ввести свои названия переменных.
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
.
.
.
.
