Магнитная индукция в зазоре

В электрических машинах и аппаратах магнитный поток Ф сосредоточивается в магнитопроводе (ферромагнитном сердечнике) и воздушных зазорах этого магнитопровода. Этот путь магнитного потока называется магнитной цепью.

Магнитная цепь подобна электрической цепи. Магнитный поток Ф напоминает электрический ток I, индукция B напоминает плотность тока, намагничивающая сила (н. с.) Fн (H∙l=I∙ω) соответствует э. д. с.

В простейшем случае магнитная цепь имеет везде одинаковое сечение и выполнена из однородного магнитного материала. Для определения н. с. l∙ω, необходимой для обеспечения требуемой индукции B, по кривой намагничивания определяют соответствующую напряженность H и умножают ее на среднюю длину магнитной силовой линии l: H∙l=I∙ω=Fм.

Отсюда определяют требуемый ток I или число витков ω катушки.

Сложная магнитная цепь обычно имеет участки с разными сечениями и магнитными материалами. Эти участки обычно соединены последовательно, поэтому по каждому из них проходит одинаковый магнитный поток Ф. Индукция B на каждом участке зависит от сечения участка и рассчитывается для каждого участка в отдельности по формуле B=Ф∶S.

Для разных значений индукции по кривой намагничивания определяют напряженность H и умножают ее на среднюю длину силовой линии соответствующего участка цепи. Суммируя отдельные произведения, получают полную н. с. магнитной цепи:

Fм=I∙ω=H1 ∙l1+H2 ∙l2+H3 ∙l3+. по которой определяют намагничивающий ток или число витков катушки.

1. Каким должен быть намагничивающий ток I катушки, имеющей 200 витков, чтобы ее н. с. создала в чугунном кольце магнитный поток Ф=15700 Мкс =0,000157 Вб? Средний радиус чугунного кольца r=5 см, а диаметр его сечения d=2 см (рис. 1).

Сечение магнитной цепи S=(π∙d^2)/4=3,14 см 2 .

Индукция в сердечнике равна: B=Ф∶S=15700∶3,14=5000 Гс.

В системе МКСА индукция равна: B=0,000157 Вб :0,0000314 м2 =0,5 Тл.

По кривой намагничивания чугуна находим для B=5000 Гс =0,5 Тл требуемую напряженность H, равную 750 А/м. Намагничивающая сила равна: I∙ω=H∙l=235,5 Ав.

Отсюда требуемый ток I=(H∙l)/ω=235,5/200=1,17 А.

2. Замкнутая магнитная цепь (рис. 2) выполнена из пластин трансформаторной стали. Сколько витков должна иметь катушка с током 0,5 А, чтобы создать в сердечнике магнитный поток Ф=160000 Мкс =0,0016 Вб?

Сечение сердечника S=4∙4=16 см2 =0,0016 м 2 .

Индукция в сердечнике B=Ф/S=160000/16=10000 Гс =1 Тл.

По кривой намагничивания трансформаторной стали находим для B=10000 Гс =1 Тл напряженность H=3,25 А/см =325 А/м.

Средняя длина магнитной силовой линии l=2∙(60+40)+2∙(100+40)=480=0,48 м.

Намагничивающая сила Fм=I∙ω=H∙l=3,25∙48=315∙0,48=156 Ав.

При токе 0,5 А число витков ω=156/0,5=312.

3. Магнитная цепь, изображенная на рис. 3, аналогична магнитной цепи предыдущего примера, за исключением того, что она имеет воздушный зазор δ=5 мм. Какими должны быть н. с. и ток катушки, чтобы магнитный поток был таким же, как и в предыдущем примере, т. е. Ф=160000 Мкс = 0,0016 Вб?

Магнитная цепь имеет два последовательно соединенных участка, сечение которых такое же, как и в предшествующем примере, т. е. S=16 см2. Индукция также равна B=10000 Гс =1 Тл.

Средняя длина магнитной линии в стали немного меньше: lс=48-0,5=47,5 см ≈0,48 м.

Магнитное напряжение на этом участке магнитной цепи Hс ∙lс=3,25∙48≈156 Ав.

Напряженность поля в воздушном зазоре равна: Hδ=0,8∙B=0,8∙10000=8000 А/см.

Магнитное напряжение на участке воздушного зазора Hδ∙δ=8000∙0,5=4000 Ав.

Полная н. с. равна сумме магнитных напряжений на отдельных участках: I∙ω=Hс ∙lс+Hδ∙δ=156+4000=4156 Ав. I=(I∙ω)/ω=4156/312=13,3 А.

Если в предыдущем примере необходимый магнитный поток обеспечивался током 0,5 А, то для магнитной цепи с воздушным зазором 0,5 см требуется ток 13 А, чтобы получить тот же магнитный поток. Отсюда видно, что воздушный зазор, даже незначительный по отношению к длине магнитопровода, сильно увеличивает необходимые н. с. и ток катушки.

4. Расчетом найдено, что магнитный поток трансформатора Ф=72000 Мкс. Требуется рассчитать н. с. и намагничивающий ток первичной обмотки, имеющей 800 витков. В сердечнике трансформатора имеется зазор δ=0,2 мм. Размеры сердечника трансформатора показаны на рис. 4. Сечение сердечника S=2∙3=6 см 2 (трансформаторы с сердечниками такой формы называются броневыми).

Индукция в сердечнике и воздушном зазоре B=Ф/S=72000/6=12000 Гс.

По кривой намагничивания трансформаторной стали для B=12000 Гс определяем напряженность: Hс=5 А/см.

Средняя длина магнитной линии в стали lс=2∙(6+3)=18 см.

Напряженность в воздушном зазоре Hδ=0,8∙B=9600 А/см.

Намагничивающая сила I∙ω=Hс∙lс+Hδ∙δ=5∙18+9600∙0,02=90+192=282 Ав; I= (I∙ω)/ω=282/800=0,35 А.

В броневом сердечнике магнитный поток разветвляется на две части, замыкающиеся по боковым стержням, сечение которых равно S/2, а средняя длина магнитной линии lс. В результате магнитная цепь полностью аналогична магнитной цепи обычного трансформатора с общим сердечником сечением S и длиной силовой линии lс.

5. Магнитный поток машины постоянного тока Ф=1280000 Мкс. Магнитная цепь содержит ярмо из литой стали со средней длиной магнитной линии lя=80 см, ротор, набранный из пластин электротехнической стали со средней длиной силовой линии lр=18 см, и два воздушных зазора δ по 0,2 см. Сечение ярма и полюса Sя=8∙20 см 2 ; сечение ротора и полюсного наконечника Sр=12∙20 см 2 . Рассчитать н. с. и число витков полюсной катушки, если максимальный ток намагничивания (возбуждения) в ней равен 1 А (рис. 5).

Индукция в ярме и полюсе Bя=Ф/Sя =1280000/160=8000 Гс.

Напряженность в ярме и полюсе согласно кривой намагничивания литой стали при Bя=8000 Гс равна:

Намагничивающая сила на участке ярма Hя∙lя=2,8∙80=224 Ав.

Индукция в роторе, полюсном наконечнике и воздушном зазоре Bр=Ф/Sр =1280000/240=5333 Гс.

Напряженность в роторе из стальных пластин при Bр=5333 Гс Hр=0,9 А/см,

а магнитное напряжение на участке ротора Hр∙lр=0,9∙18=16,2 Ав.

Напряженность в воздушном зазоре Hδ=0,8∙Bδ=0,8∙5333=4266,4 А/см.

Магнитное напряжение на участке воздушного зазора Hδ∙2∙δ=4266,4∙2∙0,2=1706,56 А.

Полная н. с. равна сумме магнитных напряжений на отдельных участках: I∙ω=Hя∙lя+Hр∙lр+Hδ∙2∙δ; I∙ω=224+16,2+1706,56=1946,76 Ав.

Число витков в обеих полюсных катушках ω=(I∙ω)/I=1946,76/1≈2000.

Расчет магнитного поля в зазоре между двумя постоянными
цилиндрическими магнитами методом конечных элементов:
распределение магнитного потока, магнитная индукция в зазоре

Постановка задачи

При конструировании некоторых типов систем на постоянных магнитах возникает задача: получить максимальную индукцию в зазоре. Способом ее решения иногда выбирают использование стальных полюсных наконечников. Но, насколько правильным является такое решение? Можно ли в действительности повысить магнитную индукцию в зазоре заданной ширины между двумя постоянными магнитами при использовании стальных полюсных наконечников?

Пусть имеется система, состоящая из двух цилиндрических соосно расположенных постоянных магнитов состава Ne-Fe-B (остаточная индукция 1.05 Тл, коэрцитивная сила по намагниченности

880 кА/м), намагниченных аксиально в одном направлении в установке импульсного намагничивания [7] . Типоразмер магнитов Д14 х 4 (диск диаметром 14 мм, высотой 4 мм). Ширина зазора между магнитами 6 мм. Для замыкания магнитного потока использован цилиндр из низкоуглеродистой стали с толщиной стенки 2 мм. Эту систему будем дополнять стальными полюсными наконечниками из низкоуглеродистой стали толщиной 2 мм. Для сохранения ширины зазора магниты придется раздвигать на 4 мм и на столько же увеличивать высоту замыкающего цилиндра.

Расчеты велись методом конечных элементов [1 , 2, 4 , 6 ] .

Результаты расчетов

На рис. 1 показан результат расчета магнитного поля в магнитной системе без полюсных наконечников. На рис. 2 представлена зависимость аксиальной составляющей магнитной индукции от радиальной координаты (в центре зазора). Максимальное значение индукции

Рис. 1. Распределение магнитного поля в магнитной системе без полюсных наконечников.

Рис. 2. Распределение аксиальной составляющей магнитной индукции в центре зазора магнитной системы без полюсных наконечников в зависимости от радиальной координаты.

На рис. 3 и 4 показаны соответствующие результаты расчета магнитного поля в аналогичной магнитной системе с полюсными наконечниками цилиндрической формы.

Рис. 3. Распределение магнитного поля в магнитной системе с полюсными наконечниками цилиндрической формы.

Рис. 4. Распределение аксиальной составляющей магнитной индукции в центре зазора магнитной системы с цилиндрическими полюсными наконечниками в зависимости от радиальной координаты.

Из рис. 2 и 4 видно, что использование цилиндрических стальных полюсных наконечников такого же диаметра, как и магнит, приводит к повышению однородности магнитного поля при существенном (

35 %) уменьшении максимального значения магнитной индукции (до

0.34 Тл) в центре зазора.

При изменении формы полюсных наконечников (на конус) ситуация остается прежней. Максимальное значение магнитной индукции (

0.42 Тл) в центре зазора немного выше, чем для случая цилиндрических наконечников (при худшей однородности), и на 25 % ниже, чем при отсутствии наконечников (см. рис. 5 и 6).

Рис. 5. Распределение магнитного поля в магнитной системе с полюсными наконечниками конической формы.

Рис. 6. Распределение аксиальной составляющей магнитной индукции в центре зазора магнитной системы с коническими полюсными наконечниками в зависимости от радиальной координаты.

Измерения

Для проверки расчетов использованы постоянные магниты вышеприведенного типоразмера и состава (Д14 х 4, Ne-Fe-B) с коэрцитивной силой по индукции несколько меньшей (примерно на 10 %), чем принято в расчетах. Магниты были установлены на губках стальных слесарных тисков. Для установки зазора использовалась калибрующая прокладка толщиной 6 мм. Измерения проводились с помощью тесламетра [5].

Результаты измерений: максимальное значение магнитной индукции в системе без полюсных наконечников 0.520 Тл, максимальное значение магнитной индукции в системе с цилиндрическими стальными полюсными наконечниками толщиной 2 мм 0.295 Тл.

Таким образом, результаты измерений подтверждают проведенные расчеты.

Выводы:

При построении магнитных систем вышеприведенной конструкции и аналогичных нет необходимости в использовании полюсных наконечников, если требуется добиться максимального значения магнитной индукции в зазоре.

Если же надо создать как можно более однородное магнитное поле, то следует использовать цилиндрические стальные наконечники.

Ссылки:

1. Бреббия К. и др. Методы граничных элементов: Пер. с англ. / Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. — М.: Мир, 1987. — 524 с., ил.
2. Громадка II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 303 с., ил.
3. Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма: Учеб. пособие для студентов вузов. — 2-е, стереотип. — М.: Высш. шк., 1991. — 288 с.: ил.
4. Норри Д., Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ. — М.: Мир, 1981. — 304 с., ил.
5. Приборы для измерения магнитных полей
6. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 229 с., ил.
7. Установки импульсного намагничивания и размагничивания постоянных магнитов

• Магнитная индукция — вектор, численно равный пределу отношения силы, действующей со стороны магнитного поля на элемент проводника с электрическим током, к произведению тока и длины элемента проводника, если длина этого элемента стремится к нулю, а элемент так расположен в поле, что этот предел имеет наибольшее значение, и направленный перпендикулярно к направлению элемента проводника и к направлению силы, действующей на этот элемент со стороны магнитного поля, причем из его конца вращение по кратчайшему расстоянию от направления силы к направлению тока в элементе проводника должно быть видно происходящим против часовой стрелки.
• Магнитная система — магнитная цепь.
• Магнитный полюс — часть поверхности намагниченного тела, на которой нормальная к поверхности составляющая намагниченности отлична от нуля.
• Магнитный поток — поток магнитной индукции сквозь заданную поверхность.
• Неодим-железо-бор (англ. Ne-Fe-B) — магнитотвердый материал на основе соединения железа, неодима и бора состава Nd₂Fe₁₄B, Nd₃Fe₁₆B, Nd₄Fe₂₈B₃.
• Однородное магнитное поле — магнитное поле, в каждой точке которого вектор магнитной индукции имеет одни и те же направление и величину.

08.03.2005
01.02.2006
23.06.2010
17.02.2018

Магнитные цепи, у которых имеется замкнутый магнитопровод с небольшими воздушными зазорами, считаются очень легко. При расчете делается предположение, что весь магнитный поток циркулирует только по магнитопроводу, (нет потока рассеяния) поэтому поток на каждом участке цепи одинаков

Закон полного тока при таком условии можно преобразовать к виду аналогичному закону Ома (E = RI).

МДС — сумма всех токов в катушках (ампер-витки)
R_магн = L/(Sμμ₀) магнитное сопротивление,
Ф — магнитный поток Вб
L — длина м
S — площадь м 2
μ — относительная магнитная проницаемость
μ₀ — 1,26*10 -6 Вс/Ам — магнитная постоянная.

Магнитная цепь разбивается на участки. И расчет ведется аналогично расчету обычной электрической цепи. Для разветвленных магнитных цепей можно применять правила Кирхгофа и все те приемы расчета для сложных случаев, которые выработала электротехника.

На рисунке показан идеализированный вид электромашины.

Составим уравнение для этого магнитопровода:

В формуле площадь спинки равна поперечному сечению двух параллельных ветвей магнитопровода. Конкретно в данной задаче удобнее пользоваться просто законом полного тока. (Приведенная выше формула, тот же закон полного тока, просто расписанный по другому)

Существуют две разные задачи:

1. Известны ампер-витки в катушке, надо найти магнитную индукцию
2. Известна магнитная индукция в воздушном зазоре, надо найти ампер-витки

Эти задачи решаются почти одинаковым методом.

1. Известны ампер-витки в катушке, надо найти магнитную индукцию

Ампер витки = 280 витков х 1,7 А = 476 ампер-витков в каждой катушке

952 ампер-витка в обеих катушках.

Составляем уравнение по закону полного тока.

Оно говорит о том, что сумма ампер-витков во всех катушках равна сумме произведений напряженности в воздушном зазоре на толщину воздушного зазора плюс напряженность в зубце умножить на длину зубца плюс.

Эта задача решается методом последовательного приближения, иначе говоря просто подстановкой произвольных значений, до тех пор, пока сумма в правой части не станет равной 952. Железо нелинейно и вывести аналитическую формулу нельзя.

Зададимся индукцией в воздушном зазоре, равной 0,9 Тл.

Площадь воздушного зазора 0,07 х 0,069 = 0,00483 м 2

Магнитный поток Ф = BS = 0,9 х 0,00483 = 0,00435 Вб Поток одинаков во всех сечениях магнитной цепи. Находим индукции для участков. И сразу же по таблице смотрим соответствующие этим индукциям напряженности. Зубец у нас пусть будет сделан из стали 2013. Ротор тоже из этой стали, а спинка из листовой стали Ст.3. Напряженность для воздуха будем вычислять по формуле

H_в = B _в * 796 000 = 0,9*796 000 = 716 400 А/м

Зубец B = 0.00435/0,049*0,069 = 1,29 Тл По таблице находим Н = 250 А/м

Где:
0,00435 — это магнитный поток,
0,049 и 0,069 — размеры зубца.

Наконечник B = 0,00435/0,07*0,069 = 0,9 Тл Н = 104 А/м

Ротор. В роторе находятся пазы с проводами, поэтому будем считать, что сечение железа равно сечению зубца B = 0,00435/0.049*0,069 = 1,29 Тл Н = 250 А/м

Спинка. Длина генератора 230 мм, толщина спинки 7 мм, площадь 2*0,23*0,007 = 0,00322 В = 0,00435/0,00322 = 1,35 Тл Н = 2200 А/м

Тперь можно найти ампер-витки, котрорые требуются чтобы поддержать заданный поток 0,9 Тл в этом магнитопроводе.

2*716400*0,0005 + 2*250*0,011 + 2*104*0,004 + 250*0,068 + 2200*Pi*0,114/2 =

Где:
2 — количество воздушных зазоров,
716400 — напряжение в воздушном зазоре,
0,0005 — длина воздушного зазора, и.т.д.

=723 + 5,5 + 0,8 + 17 + 394 = 1140 А

У нас же имеется ток 952 ампер-витка. Поэтому надо снизить индукцию в расчетах. Проведем тот же расчет для индукции в воздушном зазоре 0,8 Тл.

Магнитный поток 0,8*0,00483 = 0,00386 Вб

Воздух Н = 0,8*796000 = 636800 А/м

Зубец B_зубца = Ф/S_зубца = 1,15 Тл, Н смотрим по таблице = 150

Наконечник В = 0,8 Тл, Н = 93

Ротор В = 1,15 Тл, Н = 150

Спинка В = 1,2 Тл, Н = 1430

2*636800*0,0005 + 2*150*0,011 + 2*93*0,004 + 150*0,068 + 1430*Pi*0,114/2 =

637 + 3,3 + 0,7 + 10,2 + 256 = 907 А. (задано 952 ампер-витка)

Т.е. индукция будет немного болше 0,8 Тл.

Обратите внимание, что даже при зазоре в 0,5 мм катушка на 70% работает только на то, чтобы преодолеть воздушные зазоры. При миллиметровом зазоре пришлось бы катушку делать раза в полтора больше.

2. Задана необходимая индукция в воздушном зазоре, надо найти ампер-витки в катушке возбуждения.

В этом случае варианты просчитывать не надо.

Допустим нам захотелось увеличить индукцию в зазоре в полтора раза до 1,2 Тл, чтобы получить от генератора в два раза большую мощность.

Площадь воздушного зазора 0,07 х 0,069 = 0,00483 м 2

Поток равен Ф = В*S = 1,2*0,00483 = 0,0058 Вб

Воздух H_в = B _в * 796 000 = 1,2*796000 = 955 200А/м

Зубец B_зубца = Ф/S_зубца = 1,7 Тл, Н смотрим по таблице = 5 000

Наконечник В = 1,2 Тл, Н = 170

Ротор В = 1,7 Тл, Н = 5 000

Спинка В = 1,8 Тл, Н = 14 800

2*955 200*0,0005 + 2*5000*0,011 + 2*170*0,004 + 5000*0,068 + 14800*Pi*0,114/2 =

955 + 110 + 1,4 + 340 + 2650 = 4056 А

Ток катушек надо увеличить в 4,2 раза. Основные потери приходятся на корпус статора. Он должен быть толще. И катушки придется делать другие, большего размера. И как поведет себя ротор? Не будет ли греться?

Сталь 3411 Таблица намагничивания для полюсов