ЗАДАЧА № 2
Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 дисциплин.
Количество различных расписаний можно определить с помощью формулы комбинаторики для размещения по 5 из 11 элементов. Выбор размещения определяется тем, что при построении расписания необходимо учитывать порядок следования уроков.
ОТВЕТ: При данных условиях можно составить 55440 различных расписаний.
ЗАДАЧА № 3
Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из группы в 20 человек?
Так как для данной задачи несущественен порядок выбора, то воспользуемся формулой комбинаторики для сочетания из 20 по 3:
ОТВЕТ: Трех дежурных из группы в 20 человек можно выбрать 1140 способами.
Задача №4
Вычислить вероятность того, что некоторое событие не произойдет, если известно, что при n испытаниях оно в среднем происходит в m случаях.
1) Обозначим событие А = «Событие произошло». Определим вероятность появления данного события. Для этого воспользуемся классическим определением вероятности события, согласно которому вероятность определяется по формуле:
где m – число исходов, при которых появляется событие А,
n – общее число элементарных несовместных равновозможных исходов.
2) Определим вероятность того, что событие А не произойдет, по формуле:
ОТВЕТ: Вероятность того, что событие не произойдет, равна
ЗАДАЧА №5
Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что взятый наудачу студентом билет, содержащий 2 вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?
1) Обозначим событие А = «Вытянутый студентом билет состоит из подготовленных им билетов». Для вычисления вероятности появления данного события воспользуемся классическим определением вероятности события, согласно которому вероятность определяется по формуле:
где m – число исходов, при которых появляется событие А,
n – общее число элементарных несовместных равновозможных исходов.
2) Определим n. Общее число билетов определяется сочетанием по 2 из 60:
3) Количество билетов, вопросы которых студент знает, определяется сочетанием по 2 из 50:
4) Определим вероятность события А:
ОТВЕТ: Вероятность того, что взятый наудачу студентом билет, содержащий 2 вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов равна Р(А) = 0,69. То есть, если будет, например, 100 таких студентов, то 69 из них вытянут билеты, к вопросам которых они подготовлены.
ЗАДАЧА № 6
Какова вероятность того, что среди вынутых наудачу 4 карт из полной колоды 52 карт ровно две окажутся принадлежащими пиковой масти?
1) Для вычисления вероятности появления данного события воспользуемся классическим определением вероятности события, согласно которому вероятность определяется по формуле:
где m – число исходов, при которых появляется событие А,
n – общее число элементарных несовместных равновозможных исходов.
2) Определим n. Для этого воспользуемся формулой сочетания по 4 из 52(так как нас не интересует порядок вытянутых карт):
3) Обозначим событие А = «Из 4 вынутых карт 2 принадлежат пиковой масти». Найдем вероятность вытягивания 2 пиковых карт по формуле сочетания по 2 из 13 (так как всего карт пиковой масти 13):
4) Найдем вероятность вытягивания оставшихся двух карт не пиковой масти по формуле сочетания по 2 из 39 (52-13).
5) Полученные значения мы перемножаем: m = m1 ? m2
m = 78 ? 741 = 57798
6) Найдем вероятность того, что среди вынутых наудачу 4 карт из полной колоды 52 карт ровно две окажутся принадлежащими пиковой масти:
ОТВЕТ: Вероятность того, что среди вынутых наудачу 4 карт из полной колоды 52 карт ровно две окажутся принадлежащими пиковой масти, равна 0,21.
Задача № 7
Один из мальчиков родился в марте, а другой в апреле. Какова вероятность того, что оба они родились в первой неделе месяца?
1) Вероятность того, что первый мальчик родился в первой неделе марта равна:
2) Вероятность того, что второй мальчик родился в первой неделе апреля равна:
3) Вероятность того, что оба они родились в первой неделе месяца, равна P(A) ? P(B):
ОТВЕТ: Вероятность того, что оба мальчика родились в первой неделе месяца равна 0,05.
ЗАДАЧА №8
Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания соответственно 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
Для определения вероятности воспользуемся формулой вероятности появления хотя бы одного из n событий:
Обозначим события: А1 = «Первая бомба попала на мост»
А2 = «Вторая бомба попала на мост»
А3 = «Третья бомба попала на мост»
А4 = «Четвертая бомба попала на мост»
Тогда P (A1 + A2 + A3 + A4) = 1 – 0,7 ? 0,6 ? 0,4 ? 0,3 = 0,9496.
ОТВЕТ: Вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с заданными вероятностями попадания, равна 0,9496, то есть это достаточно достоверное событие.
ЗАДАЧА № 9
Чему равна вероятность того, что при одновременном бросании трех игральных костей 2 очка появятся на 2 костях?
Обозначим события: А = «2 очка выпали на первой кости»
В = «2 очка выпали на второй кости»
С = «2 очка выпали на третьей кости»
Искомое событие X описывается следующей комбинацией:
Так как события А, В и С несовместные и независимые, то вероятность события Х определяется по формуле:
P(X) = 0,17 ? 0,17 ? 0,83 + 0,83 ? 0,17 ? 0,17 + 0,17 ? 0,83 ? 0,17 = 0,17 ? 0,17 ? 0,83 ? 3 = 0,07.
ОТВЕТ: Вероятность того, что при одновременном бросании трех игральных костей 2 очка появятся на 2 костях, равна 0,07.
ЗАДАЧА № 10
Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке на один из трех станков с вероятностями соответственно равными Р1 = 0,2; Р2 = 0,3; Р3 = 0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,05. Найти вероятность того, что поступившее в цех изделие после обработки окажется удовлетворяющим техническим условиям.
Обозначим события: А = «Изделие удовлетворяет техническим условиям»
В1 = «Изделие обрабатывалось на первом станке»
В2 = «Изделие обрабатывалось на втором станке»
В3 = «Изделие обрабатывалось на третьем станке»
Для решения поставленной задачи используем формулу полной вероятности:
ОТВЕТ: Вероятность того, что поступившее в цех изделие после обработки окажется удовлетворяющим техническим условиям, равна 0,745.
ЗАДАЧА №11
Пусть в условиях предыдущей задачи поступившее в цех изделие после обработки оказалось удовлетворяющим техническим условиям. Какова вероятность того, что изделие обрабатывалось на третьем станке?
Для решения данной задачи применим формулу Бейеса:
ОТВЕТ: Вероятность того, что изделие обрабатывалось на третьем станке, при том что оно оказалось удовлетворяющим техническим условиям, равна 0,638.
ЗАДАЧА № 12
Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Определить вероятность того, что из трех наудачу взятых деталей: а) две окажутся стандартными; б) все три окажутся стандартными.
Для решения используем формулу Бернулли:
а) p = 0,9; q = 1 – 0,9 = 0,1
б) p = 0,9; q = 1 – 0,9 = 0,1
ОТВЕТ: Вероятность того, что из трех наудачу взятых деталей две окажутся стандартными, равна 0,243; а того, что все три окажутся стандартными, — 0,729.
ЗАДАЧА №13
Вероятность выхода из строя за некоторое время Т одного конденсатора равна 0,1. Найти вероятность того, что из 100 конденсаторов в течение времени Т из строя выйдут: а) ровно 16 конденсаторов; б) от 4 до 19 конденсаторов.
а) Для решения используем формулу Бернулли:
k = 16, n = 100, p = 0,1; q = 1 – 0,1 = 0,9
б) Для решения используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:
По таблице(Приложение 2) определим значение функции при данных значениях х:
Ф(-2) = -Ф(2) = 0,4772; Ф(3) = 0,49865
ОТВЕТ: Вероятность того, что из 100 конденсаторов в течение времени T из строя выйдут ровно 16 конденсаторов, равна 0,019, а от 4 до 19 конденсаторов – 0,02145.
ЗАДАЧА № 14
Игральная кость брошена два раза. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появления двойки. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
1) Составим закон распределения случайной величины Х:
2) Найдем вероятность события А = «При бросании кости выпала двойка». Для вычисления вероятности появления данного события воспользуемся классическим определением вероятности события, согласно которому вероятность определяется по формуле:
где m – число исходов, при которых появляется событие А, n – общее число элементарных несовместных равновозможных исходов.
В нашем случае m = 1, а n = 6 (так как на кости шесть граней с числами).
3)Для определения вероятностей того, что двойка выпадет 0, 1 или 2 раза воспользуемся формулой Бернулли:
4) Найдем вероятность того, что двойка на игральной кости не выпадет ни разу (Х=0).
5) Найдем вероятность того, что двойка на игральной кости выпадет один раз (Х=1).
6) Найдем вероятность того, что двойка на игральной кости выпадет два раза (Х=2).
7) Заполним теперь таблицу, выражающую закон распределения случайной величины Х:
P 0,694 0,278 0,028
8) Определим математическое ожидание данной случайной величины Х (математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины при большом числе испытаний):
М(Х) = 0 ? 0,694 + 1 ? 0,278 + 2 ? 0,028 = 0,334.
9) Определим дисперсию для данной случайной величины по формуле (дисперсия характеризует средний квадрат отклонения случайной величины от среднего):
10) Определим среднеквадратическое отклонение, которое характеризует среднее отклонение случайной величины от среднего, по формуле:
ОТВЕТ: Математическое ожидание случайной величины равно М(Х) = 0,334. Дисперсия случайной величины равна Д(Х) = 0,278.
ЗАДАЧА № 15
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
X 2 5 8
P 0,4 P2 0,1
Найти: Р2; функцию распределения F(х) и построить ее график; математическое ожидание; дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. Найти закон распределения случайной величины Y, где Y = 2X, Y = X2.
1) Определим Р2. Так как сумма всех вероятностей, указанных в таблице, должна быть равна единице (то есть Р1 + Р2 + Р3 = 1), то Р2 найдем из формулы:
Р2 = 1 – 0,4 – 0,1 = 0,5.
2) Построим функцию распределения 
а) Рассмотрим первый интервал х 8: 
Запишем закон распределения:
3) Построим график функции распределения:
4) Определим математическое ожидание данной случайной величины Х (математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины при большом числе испытаний):
М(Х) = 2 ? 0,4 + 5 ? 0,5 + 8 ? 0,1 = 4,1.
5) Определим дисперсию для данной случайной величины по формуле (дисперсия характеризует средний квадрат отклонения случайной величины от среднего):
М(Х2) = 22 ? 0,4 + 52 ? 0,5 + 82 ? 0,1 = 20,5.
Д(Х) = 20,5 – 4,12 = 3,69.
6) Определим среднеквадратическое отклонение, которое характеризует среднее отклонение случайной величины от среднего, по формуле:
7) Составим закон распределения для функций Y = 2X и Y = X2
Y= 
4 25 64
ЗАДАЧА №16
Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):
Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию, СКО, медиану и моду случайной величины Х;
б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (1/6; 1/3);
Задача №13. Из 60 экзаменационных вопросов студент подготовил 50. Найти вероятность того, что вытянутый билет из 2 вопросов будет состоять из подготовленных вопросов.
Задача №14. Из 30 карточек с буквами русского алфавита наудачу выбирают 4 карточки. Чему равна вероятность того, что эти 4 карточки в порядке выхода составят слово "небо"?
Задача №15. На полке расставлено наудачу 10 книг. Определить вероятность того, что 3 определённые книги окажутся рядом.
Пояснение. При вычислении m три указанные книги принимаем за одну.
Задача №16. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 выигрывают, 500 проигрывают. Куплено 2 билета. Найти вероятность того, что оба билета выиграют.
Решение. Пусть случайное событие А=<2 билета выигрывают>, тогда:
Задача №17. Наудачу выбирается 5-тизначное число. Какова вероятность события:
Решение. Всего пятизначных чисел:
Задача №18. В коробке 15 одинаковых изделий, 5 из них окрашены. Наугад извлекают 3 изделия. Найти вероятность того, что
a) все 3 изделия окрашены;
b) одно изделие окрашено.
Решение. Рассмотрим события:
Задача №19. Среди 12-ти студентов, 7 из которых девушки, раздают 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов будут 3 девушки (событие А).
Задача №20. Из колоды карт (36 штук) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется туз.
Задача №21. Из 10 изделий, из которых 3 бракованные, наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятность того, что:
a)в полученной выборке все изделия бракованные;
b)в полученной выборке 2 изделия бракованные.
Задача №22. Дано пять отрезков, длины которых составляют соответственно 1, 3, 5, 7, 9. Определить вероятность того, что из взятых наудачу 3-х отрезков из данных пяти можно построить треугольник (событие А).
Решение. Всего отобрать 3 отрезка из заданных 5-ти можно
Из 60 вопросов, включенных в экзамен, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что студент из предложенных ему вопросов знает два?
Лучший ответ:
60-10=50Ответ: 50 вероятность тому
Другие вопросы:
Набор реальных молекул- это А) N2, He2 Б) O2, H2 В) F2, Mg2 Г) S2, Mn2 ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА,ОЧЕНЬ НУЖНА ПОМОЩЬ. ЗАРАНЕЕ ОГРОМНОЕ СПАСИБО
Проект про 7 чудес света
Пожалуйста напишите пять предложений в past simple и пять предложений в present perfect
Пожалуйста помогите. Как бы вы ответили на вопросы автора?отчего же на капельку солнца прибавилось в мире ?отчего же на капельку счастья прибавилось в мире ?отчего же на капельку радостней сделалась жизнь ?
Біля води нерідко можна побачити, як літають невеликі комахи з прозорими крильцями-одноденки; їхнє життя вкрай коротке, в окремих видів лише декілька годин. Як за такий короткий час встигають чинники природного добору? Як сформувалися корисні пристосування у тварин, чиє життя таке недовговічне?