- 10 — 11 классы
- Геометрия
- 15 баллов
помогите пожалуйста доказать теорему:Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то она проектируется на его плоскость в центр вписанной окружности.
- Попроси больше объяснений
- Следить
- Отметить нарушение
ShabanovaKs 20.01.2013
Ответ
Проверено экспертом
SO перпендикуляр к плоскости многоугольника. Рассмотрим треугольники SOM, SOQ, SOP, SON. Они все равны (прямоугольный, гипотенузы равны, а катет общий), тогда отрезки OM, OQ, OP, ON равны. Наконец, по теореме о трех перпендикулярах OM перпендикулярно AB, OQ — AD, OP — CD, ON — BC. Т.к. длины отрезков равны, а расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, опущенному из этой точки на прямую, то О равноудалена от сторон многоугольника. Т.к. О принадлежит плоскости многоугольника, то О — центр вписанной окружности, ч.т.д.
И. Проверка домашнего задания
1. Проверить решение задачи № 24 по записям (с пробелами), сделанными на доске до начала урока.
Решение задачи № 24 Пусть АВ
α (рис. 166).
1) ВС = 40 см, BD =. ; пусть AD = х см, тогда АС=. С ΔАВ D : АВ2 = х2 -122 = х2 — 144. Из ΔАВС АВ2. Тогда х2 — 144 = (х + 26)2 — 402; 52х=. ; х =15. Следовательно, AD=. AC = 41 см.
2) BD=. BC=7 см; пусть А D =. тогда AC = 2х см.
С ΔАВ D AB2=. Из Δ АВС АВ2 = 4х2 — 49.
Тогда х2 — 1 = . ; 3х2 = . ; х2 = 16. Отсюда х = . ; следовательно, AD =. AC = 2·4 = 8 (см).
Ответ. 1) 15 см и 41 см; 2) 4 см и 8 см.
2. Математический диктант.
МО — перпендикуляр к плоскости ОАВ; 
AOB = 90° (рис. 167); МА и МВ — наклонные.
Вариант 1 — МО = 1 см, ОА = 3 см, MB = 
см;
вариант 2 — МЕ = 1 см, ОВ = 4 см, МА = 
см. Пользуясь рисунком, найдите:
1) длину неизвестной наклонной; (2 балла)
2) длину неизвестной проекции наклонной; (2 балла)
3) длину отрезка АВ; (2 балла)
4) расстояние от точки В до середины отрезка АВ; (2 балла)
5) расстояние от точки М до середины отрезка АВ; (2 балла)
6) расстояние от точки А до плоскости ЯЗЫКОВ. (2 балла)
Ответ. Вариант 1.1) см; 2) 
см; 3) 
см; 4) 
см; 5) 
см; 6) 3 см.
Вариант 2. 1) 
см; 2) 3 см; 3) 5 см; 4) 2,5 см; 5) 
см; 6) 3 см.
II. Восприятие и осознание нового материала
Свойство точки, равноудаленной от вершины многоугольника
Если через центр окружности, описанной вокруг многоугольника, проведено прямую, перпендикулярную к плоскости многоугольника, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.
Доведение
Пусть ABCD — четырехугольник, вокруг которого описана окружность с центром в точке О, и OS(ABC). Докажем, что SA = SB = SC = SD (рис. 168).
ΔASO = ΔBSO = ΔCSO = ΔDSO (за двумя катетами: SO — общая, АО = BO = CO = DO).
Из равенства треугольников следует, что SA = SB = SC = SD.
Если некоторая точка равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника, совпадает с центром окружности, описанной вокруг многоугольника.
Доведение
Пусть ABCD — данный четырехугольник, для точки S пространства SA = SB = SC = SD и SOАВС. Докажем, что точка О — центр окружности, описанной вокруг ABCD (рис. 168). ΔASO = ΔBSО = ΔCSO = ΔDSO (по гипотенузой и катетом: SO — совместный, AS = BS = CS = DS — по условию). Из равенства треугольников следует, что АО = BO = CO = DO, т.е. точка О — центр окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD.
Далее следует напомнить формулы для нахождения радиуса круга, описанного вокруг некоторых многоугольников, с помощью данной настенной таблицы.
1. ABC = 90°; МА = MB = МС (рис. 169). Опустите из точки М перпендикуляр на плоскость АВС.
2. ABCD — квадрат, АВ = 4 см, МА = MB = MC = MD = 5 см (рис. 170). Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.
3. АВ = ВС = АС = 5 см; МА = MB = MC = 13 см (рис. 171). Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.
4. ABCD — квадрат, SO( ABC ), SO = 2см, АВ = 4 см (рис. 172). Найдите расстояние от точки S до вершин квадрата.
5. Δ АВС — правильный; точка О — центр треугольника; АВ = 3см; SO(АВС); SO = см (рис. 173). Найдите расстояние от точки 5 до вершин треугольника АВС.
6. Задача 21 из учебника (с. 35).
7. Задача 20* из учебника (с. 35).
III. Домашнее задание
Задачи № 6, 17-19 (с. 34-35).
IV. Подведение итога урока
Вопрос к классу
1) Какое свойство имеют точки, которые лежат на перпендикуляре, проведенном к плоскости многоугольника через центр окружности, описанной вокруг многоугольника?
2) Где находятся точки, равноудаленные от вершин некоторого многоугольника?
3) Через центр О правильного шестиугольника ABCDEF проведем перпендикуляр SO к плоскости АВС (рис. 174). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие — неправильные:
а) расстояния от точки S до вершин шестиугольника ABCDEF разные;
б) угол OAS равен углу OCS;
в) если ОА = 1 cm, SO = 1 см, то SA = cm;
г) если SO = OB, то OSB = 60°.
4) Расстояния от точки S до всех вершин прямоугольника ABCD равны, точка О — точка пересечения диагоналей АС и BD прямоугольника ABCD. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие — неправильные:
а) прямая SO перпендикулярна к прямой АС;
б) прямая SO не перпендикулярна к прямой BD;
в) прямая SO перпендикулярна к плоскости АВС;
г) если АВ = 6 см, ВС = 8 см и AS = 13 см, то SO = 12 см.
Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №200
к главе «Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей.».
Пусть SO L а — данная прямая, а а — плоскость многоугольника
Пусть на плоскости а имеется вписанный в окружность n-угольник (не обязательно правильный n-угольник); т. О -центр описанной окружности.
Рассмотрим ΔA1OS, ΔA2OS, . ΔAnOS. Они — прямоугольные, ОА1 = ОА2 = . = =ОАn — как радиусы окружности, SO — общий катет. Все треугольники равны, поэтому наклонные SA1, SA2, . SАn тоже равны. Это суть утверждение задачи.
«>