Амплитудный спектр в маткаде

Содержание

1 Адаптивные системы.. 6

2 Решение задачи в среде MathCAD.. 8

3 Решение задачи в MS Office Excel 15

Список использованных источников. 20

Приложение А (обязательное) Разработка комплексного документа средствами интегрированного покета MS Office. 21

Введение

При выполнении данного курсового проекта будет произведен спектральный анализ и восстановление периодического сигнала при помощи программных сред MathCAD и MS Excel, разработан комплексный документ средствами интегрированного пакета Microsoft Office.

Адаптивные системы

Системы, автоматически изменяющие значение своих параметров или структуру при непредвиденных изменениях внешних условий на основании анализа состояния или поведения системы так, чтобы сохранялось заданное качество ее работы, называют адаптивными системами. Адаптивные системы с изменением значений параметров иногда называют самонастраивающимися, а системы с изменением структуры – самоорганизующимися.

Обычно адаптивная система содержит в качестве «ядра» схему, реализующую один из фундаментальных принципов управления, а контур адаптации пристраивают к ней как вторичный, осуществляющий коррекцию параметров. Контур адаптации, обычно состоящий из устройства измерения (ИУ), вычисления (ВУ) и управления (УУ), может быть разомкнут (рисунок 1), если на его вход подается только входное воздействие, или замкнут (связь показана пунктиром), если он реагирует также и на выходную координату системы. Основной контур составляет объект О и регулятор Р.

Рисунок 1 – Адаптивная САУ

Контур самонастройки воздействует на блок настройки параметров БНП, который может быть включен не только последовательно, как показано на рисунке, но и любым другим способом, например, в цепь обратной связи. Вычисление воздействий для коррекции параметров осуществляет ВУ в соответствии с программой.

Классификация САУ по другим признакам имеет более общий характер и слабо связана с фундаментальными принципами управления.

В зависимости от принадлежности источника энергии, при помощи которого создается управляющее воздействие, САУ могут быть прямого и непрямого действия. В системах прямого действия используется энергия управляемого объекта. В системах непрямого действия управляющее воздействие создается за счет энергии дополнительного источника.

По виду сигналов, действующих в системах, последние разделяют на непрерывные и дискретные. Дискретные системы, в свою очередь, разделяются на импульсные, релейные и цифровые.

САУ, у которых управляемая величина в установившемся режиме зависит от величины возмущающего воздействия, называются статическими, а САУ, у которых управляемая величина не зависит от возмущения, называются астатическими.

Решение задачи в среде MathCAD

Временная диаграмма сигнала представлена на рисунке 2. Параметры импульсной последовательности: амплитуда импульса U_m = 10 В; длительность импульса τ_u = 0,1 мс; период повторения импульсов T_n = 1 мс.

Рисунок 2 – Временная диаграмма сигнала

Во временной области математическая модель сигнала имеет вид:

(1)

Чтобы графически представить амплитудно-частотный спектр (АЧС) сигнала, необходимо вычислить амплитуды гармоник (колебаний синусоидальной формы), определяющих форму сигнала u(t). Амплитуды гармоник U_k (где k – номера гармоник, k = 1,2, …, n), находят по формуле

, (2)

где коэффициенты ряда Фурье a_k и b_k определяют из выражений

, (3)

. (4)

Постоянную составляющую (среднее значение напряжения за период) находят из выражения

. (5)

Поскольку заданный сигнал u(t) существует только на временном интервале t ϵ [0, τ_u], то в приведенных формулах (3), (4) и (5) нижний и верхний пределы интегрирования принимаем равными значениями переменной t в начале и в конце указанного интервала. Частота первой гармоники ω₁ определяется из выражения

. (6)

Для построения фазочастотного спектра начальные фазы k-x гармоник определяют по формуле

, (7)

если коэффициенты b_k > 0, в противном случае используют формулу

. (8)

Числовые значения коэффициентов a_k и b_k в формулы (7) и (8) подставляют с учетом их знаков.

Формулы (7) и (8) используют для расчета начальных фаз гармоник, если при восстановлении исходного сигнала по известному спектру применяют синусную форму записи ряда Фурье для бесконечной во времени периодической функции, то есть выражение

. (9)

Если же ряд Фурье записывают в косинусной форме

, (10)

то начальные фазы гармоник находят по формулам

, (11)

. (12)

Для построения временной диаграммы сигнала в системе MathCAD используют программу вычислений в цикле. Фрагменты программ построения диаграммы исходного сигнала, его амплитудно-частотного и фазочастотного спектров в системе MathCAD показаны на рисунках 3, 4 и 5 соответственно.

Рисунок 3 – Построение временной диаграммы сигнала

Рисунок 4 – Построение амплитудно-частотного спектра

Рисунок 5 – Построение фазочастотного спектра

Фрагмент программы восстановления исходного сигнала в системе MathCAD показан на рисунке 6.

Рисунок 6 – Восстановление сигнала во временной области по заданному спектру

Как видно из рисунка 6, при использовании числа членов ряда Фурье (числа гармоник) N = 100 временная диаграмма восстановленного сигнала отличается от временной диаграммы исходного сигнала незначительно. Для полного воспроизведения формы сигнала число гармоник должно стремиться к бесконечности, что возможно только теоретически.

На рисунке 7 в виде таблицы представлены результаты вычисления постоянной составляющей и амплитуд первых десяти гармоник U_k спектра исследуемого сигнала. Данные приведены для проведения сравнительного анализа результатов решения задачи в среде MathCAD и Excel.

Рисунок 7 – Результаты расчета в MathCAD

Дата добавления: 2016-09-06 ; просмотров: 2111 | Нарушение авторских прав

2.1 Спектральные характеристики периодических сигналов

Задача 2.1.1. Разложить функцию x(t):= t,в тригонометрический ряд Фурье на интервале (0,1).

Ряд Фурье (1.1) при числе гармоник k:= 0,1,2 имеет вид

Задача 2.1.2. Разложить функцию x(t):= t из примера 1.1 в экспоненциальный ряд Фурье на интервале (0,1).

Экспоненциальный ряд Фурье (1.4) при числе гармоник m:= 5 имеет вид

Задача 2.1.3. Построить амплитудный спектр периодической последовательности идеальных прямоугольных импульсовZ(t), график которой приведен на рисунке 10, на базе тригонометрического ряда Фурье.

Рисунок 10 – График идеальных прямоугольных импульсов

Ответ. При единице времени одна миллисекунда m_s:= 10 -3 sec, номерах гармоник k:= 0 .. 5, амплитуде U_m:= 1.5volt, периоде T:= 2 m_s, частоте 1-й гармоникиf₁:= 1/Tи k-й гармоники f_k:= k∙f₁амплитудный спектр

График амплитудного спектра в виде столбчатой диаграммы приведен на рисунке 11.

Рисунок 11 – График амплитудного спектра

Задача 2.1.4. Найти амплитудный и фазовый спектры сигналаU(t) на выходе однополупериодного выпрямителя на основе комплексного ряда Фурье. График сигнала показан на рисунке 12.

Рисунок 12 – График сигнала U(t)

Задача 2.1.5. Найти амплитудный и фазовый спектры сигналаS(t) на выходе двух полупериодного выпрямителя на основе комплексного ряда Фурье. График сигнала показан на рисунке 13.

Рисунок 13 – График сигнала S(t)

Задача 2.1.6. Найти амплитудный и фазовый спектры периодической последовательности идеальных прямоугольных импульсов P(t), график которой приведен на рисунке 14, на базе комплексного ряда Фурье.

Рисунок 14 – График импульсов P(t)

2.2. Спектральные характеристики непериодических сигналов

Задача 2.2.1. Построить спектры амплитуд и фаз сигнала U(t) на выходе генератора линейно изменяющегося напряжения (ГЛИН) при исходных данных: скорость изменения V_m:=4 volt∙Sec -1 и длительность τ:=2 Sec.

Аналитическое выражение сигнала

Рисунок 15 – Сигнал U(t)

Задача 2.2.2. Найти спектр косинусоидальной функции y(t), заданной на интервале -τ/2 ≤t≤ τ/2 показанной на рисунке 16, при исходных данных: амплитуда U_m:= 0.5, длительность τ:= 0.2, при N:= 8 частота f₀:= N/τ или ω₀:= 2 ∙ π ∙ f₀, возможная периодичность повторения T:= 2 ∙ τ.

Аналитическое выражение функции

Рисунок 16 – Сигнал y(t)

Ответ.Спектр функции y(t)

Задача 2.2.3. Найти амплитудный спектр одиночного видеоимпульса S(t) синусоидальной формы при исходных данных: амплитуда U_m:= 2 volt; длительность τ:= 10 -1 sec; при N:= 2 частота f₀:= 1/ (N∙τ) (угловая частота ω₀:= 2 ∙ π ∙ f₀) и период T₀:= N∙τ.

Аналитическое выражение сигнала:

Рисунок 17 – Видеоимпульс S(t)

Ответ. Амплитудный спектр

График амплитудного спектра видеоимпульса S(t) синусоидальной формы приведен на рисунке 18 при изменении угловой частоты ω в долях несущей частоты ω₀:= 2π/Т₀ в случае периодического продолжения импульсного сигнала с периодом T₀, а именно при

Рисунок 18 – График амплитудного спектра видеоимпульса S(t)

Задача 2.2.4. Решить задачу 2.2.3 с использованием теоремы о временном сдвиге.

Задача 2.2.5. Найти спектры амплитуд и фаз экспоненциального видеоимпульса E(t), t≥0 sec с амплитудой U_m:= 1volt и коэффициентом затухания α:=0.1 sec -1 .

Рисунок 19 – Видеоимпульс E(t)

Математическая модель сигнала

Задача 2.2.6. Найти амплитудный спектр экспоненциального радиоимпульса E1(t), t≥0 sec (рисунок 20) с параметрами: амплитуда U_m:= 5volt; коэффициент затухания α:= 400 sec -1 ; частота f₀:= 1000 Hz (ω₀:= 2πf₀).

Рисунок 20 – Экспоненциальный радиоимпульс E1(t)

Математическая модель сигнала

Ответ.Амплитудный спектр экспоненциального радиоимпульса

График амплитудного спектра приведен на рисунке 21 при

и изменении угловой частоты

Рисунок 21 – График амплитудного спектра

Задача 2.2.7. Найти в рамках Mathcad спектры некоторых специальных функций:

дельта-функция δ (t) или функция Дирака

единичный скачок d(t) или функция Хевисайда

комплексная синусоида (пусть ω₀:= 5)

постоянная функция p(t) := A

ПРИМЕЧАНИЕ. Все эти функции абсолютно не интегрируемы, но путем предельного перехода для них можно найти интегральное преобразование Фурье.

ПРИМЕЧАНИЕ. Если интеграл непосредственно не берется, то следует использовать в Mathcad команды прямого преобразования Фурье «Fourier Transform» и обратного преобразования Фурье «Inverse Fourier Transform» меню Symbolic и Transforms.

Задача 2.2.8. Амплитудный спектр сигнала S(t) имеет параметры:

а) плотность амплитуд H:= 0.5 volt∙sec;

б) частоты среза спектра ω_c1:= 4 sec -1 и ω_c2:= 3 ω_c1.

Амплитудный спектр описывается выражением

Спектр фаз равен нулю. Требуется найти вид сигнала S(t). График частотной характеристики (амплитудного спектра) приведен на рисунке 22 при W:=18 sec -1 и ω:= -W, -W + W/200 .. W.

Рисунок 22 – График частотной характеристики

причем при t:=0 имеем

График сигнала при T:= 5sec и t:= 1.0 ∙ T, — 1.0 ∙ T + T/400 .. 1.0 ∙ T приведен на рисунке 23.

Автоматизация инженерной деятельности

Тема 1. Формирование элементарных сигналов и вычисление их спектров. 2

1.1. Прямоугольный импульс и его спектр. 2

1.2. Прямоугольный радиоимпульс и его спектр. 2

1.3. Прямоугольный видеоимпульс с экспоненциальными фронтами и его спектр. 3

1.4. Сравнение спектров прямоугольного и колоколообразного (гауссового) импульсов. 3

1.5. Особенности применения БПФ (FFT) для гармонических сигналов. 4

1.6. Спектр амплитудно-модулированных сигналов. 4

1.7. Спектр частотно-модулированного сигнала. 5

По текстовым файлам «Формирование сигналов в среде MathCAD» и «Спектральный анализ сигналов» ознакомиться со способами формирования сигналов и особенностях вычисления их спектров встроенными функциями.

Ознакомиться также с файлом MathCAD «Формирование элементарных сигналов».

1.1. Прямоугольный импульс и его спектр.

Тем или иным способом сформировать прямоугольный видеоимпульс и, используя встроенную функцию БПФ (FFT), построить его амплитудный спектр.

Рис.1. Амплитудный спектр прямоугольного импульса.

Длительность сигнала выбрать из соображений наглядности представления спектра.

1.1.1. Определить уровни 2-ого, 3-его, 4-ого лепестков спектра по отношению к главному (отношение уровня лепестков спектра к постоянной составляющей).

1.1.2. Определить изменение амплитудного спектра при изменении длительности импульса.

1.1.3. Определить влияние смещения начала импульса на его спектр.

1.1.4. Определить спектр сигнала типа «меандр» (длительность импульса = T/2).

Здесь и далее в качестве отчета по выполняемым заданиям представить файлы MathCAD, содержащие необходимые пояснения по результатам выполняемых заданий.

Рекомендуется каждое задание оформлять отдельным файлом.

Для иллюстрации различных операций, требующих сравнения результатов (например, как по данному заданию для определения влияния на вид спектра длительности импульса) следует в файле одновременно представить несколько вариантов.

1.2. Прямоугольный радиоимпульс и его спектр.

Сформировать прямоугольный радиоимпульс и, используя БПФ (FFT), построить его амплитудный спектр.

Рис.2. Амплитудный спектр радиоимпульса.

1.3. Прямоугольный видеоимпульс с экспоненциальными фронтами и его спектр.

Сформировать прямоугольный видеоимпульс с экспоненциальными фронтами (см. «Формирование сигналов в среде MathCAD») и, используя БПФ (FFT), построить его амплитудный спектр.

Определить влияние на вид амплитудного спектра «завала» фронтов прямоугольного импульса (постоянной времени формирования фронтов). Для этого сформировать 2-3 сигнала с различной постоянной времени фронта и построить их спектры, позволяющие качественно сравнить изменение уровней лепестков спектра.

1.4. Сравнение спектров прямоугольного и колоколообразного (гауссового) импульсов.

Колоколообразный (гауссов) видеоимпульс описывается выражением:

— описание формы гауссового видеоимпульса,

середины интервала формирования T.

— параметр гауссового импульса, определяющий его

длительность на относительном уровне U_o

Сформировать прямоугольный импульс длительностью τ_i (в пределах T/10…T/15) и гауссов импульс такой же длительности по уровню 0.1.

Рис.3. Прямоугольный и гауссов импульсы.

Вычислить по FFT спектры импульсов.

Рис.4. Амплитудные спектры прямоугольного и гаусового импульсов.

Определить соотношение ширины спектров импульсов, в пределах которой сосредоточено 99% мощности сигналов. Для этого вычислить отношение мощности (суммы квадратов) гармоник в диапазоне, ограниченном значениями m и n, к полной мощности сигналов (т. е. подобрать значения m и n, обеспечивающие значение отношений

Отношение ширины спектров, занимаемых такими сигналами, определить как отношение значений m и n.

1.5. Особенности применения БПФ (FFT) для гармонических сигналов.

На интервале моделирования T:=1024

сформировать несколько (четыре) непрерывных гармонических сигнала в виде векторов u с циклическими частотами:

и, выполнив прямое преобразование Фурье (FFT), построить графики амплитудных спектров сформированных сигналов.

Рис.5. Спектры гармонических сигналов в зависимости от соотношения между частотой гармонического сигнала и интервала моделирования.

Пояснить различия спектров сигналов с частотой, кратной интервалу моделирования T и некратной.

1.6. Спектр амплитудно-модулированных сигналов.

Смоделировать амплитудную модуляцию несущей частоты одной гармоникой низкой частоты.

Аналитическое выражение АМ-сигнала:

Модулирующее колебание (с амплитудой = 1):

Um – амплитуда несущей частоты колебания (без модуляция) – принять = 1;

m – коэффициент модуляции;

F – частота модуляции.

Построить спектр АМ-сигнала с помощью FFT.

Напомним, что для получения «правильного» результата расчета спектра по FFT как f0, так и F должны быть кратны 1/T (целое число периодов на интервале моделирования), т. е. присвоить частотам значения:

где n и N – число периодов колебаний частоты f0 и F на интервале T.

Рис.6. АМ сигнал и его спектр.

Определить соотношение между гармоникой несущей и гармониками боковых частот при различных коэффициентах амплитудной модуляции m = 1; 0.7; 0.5.

Выяснить форму АМ-сигнала при перемодуляции (m > 1).

1.7. Спектр частотно-модулированного сигнала.

Частотная модуляция аналитически описывается выражением:

Um – амплитуда сигнала (при ЧМ амплитуда постоянна);

m – индекс частотной модуляции.

При ЧМ модуляции одной частотой Ω (F):

индекс модуляции равен m= Δf/F (или Δω/Ω); здесь амплитуда модулирующего сигнала принята равной 1.

Δf (Δω) – девиация частоты – максимальное отклонение несущей частоты под воздействием модулирующего сигнала от средней – f0.

Опуская здесь математическое обоснование, отметим, что ЧМ сигнал теоретически может быть представлен бесконечным рядом гармоник, вычисляемых через функции Бесселя:

где Jk(m) – значение функции Бесселя первого рода порядка k (k – номер гармоники ряда Фурье) при значении аргумента m (значении индекса модуляции).

Используя файл «Частотная модуляция», определить изменение спектра ЧМ сигнала в зависимости от частоты модуляции F (от N – числа периодов модулирующего сигнала на интервале T) и от девиации частоты Δf (в % от несущей частоты).

N менять в пределах 1…5, девиацию в % — в пределах 5…15%

Рис.7. Спектр ЧМ сигнала.

Спектр ЧМ сигнала бесконечен (см. выше), но на практике полагают, что полоса частот, занимаемая ЧМ сигналом, примерно равна:

(В пределах такой полосы сосредоточена основная мощность ЧМ сигнала).

Используя указанный выше файл, определить связь между девиацией частоты и шириной спектра ЧМ сигнала (т. е. убедиться в справедливости практических предположений о ширине спектра).

В вышеуказанном файле расчет гармоник спектра ЧМ сигнала выполнен методом быстрого преобразования Фурье (FFT).

Не безынтересно сравнить результаты расчета спектра ЧМ сигнала по FFT c теоретическими значениями.

В MathCAD имеются встроенные функции Бесселя Jn(j,x):

— где j — порядок функции, x – аргумент функции.

Применимо к ЧМ сигналу x – это значение индекса модуляции m;

j — номер гармоники боковой полосы спектра;

Для сравнения результатов расчета спектра по FFT с теоретическими значениями вывести значения нескольких гармоник, рассчитанных разными способами и сравнить их:

Построить несколько функций Бесселя:

Рис.8. Функции Бесселя первого рода порядка 0…4.

Найти одно из значений индекса модуляции m (порядка 6-и), при котором гармоника несущей частоты будет равна нулю, т. е. будет подавлена (Jn(0,x)=0).

Естественно, для определения x (m), при котором Jn(0,x)=0, т. е. для определения численных значений функции и аргумента по построенным графикам можно воспользоваться режимом измерений MathCAD Trace. Однако при этом не всегда обеспечивается требуемая точность получения результатов, т. к. указатель для измерения устанавливается только на расчетные точки.

В таких случаях (а также и при других расчетах) удобно использовать встроенную функцию root для вычисления корня уравнения.

Вычисление корня уравнения f(x) в MathCAD реализовано в двух вариантах:

f(x) – уравнение, x – переменная уравнения, относительно которой вычисляется корень.

Вычисление корня уравнения выполняется численным методом Ньютона (методом касательной), поэтому перед заданием функции root(f(x),x) следует задать начальное значение (первое приближение к корню) x0.

Здесь вместо задания начального (первого) приближения к корню уравнения задается диапазон, в пределах которого и следует искать корень. (MathCAD первое приближение вычисляет как середину заданного в root диапазона).

Применимо к рассматриваемой задаче определения индекса частотной модуляции для подавления несущей частоты m_0 можно воспользоваться вычислением:

m_0:=root(Jn(0,x),x, x_min, x_max)

По найденному значению индекса модуляции задать выражение для вычисления девиации частоты Df (уже не через %) и выполнить моделирование ЧМ сигнала, вычислить и построить его спектр (гармоника на несущей частоте должна быть = 0).